(2, 0 pontos) Verdadeiro ou falso. Justifique como justifica
(a) Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b e g(b)=c, então \lim _{x \rightarrow a} g(f(x))=c.
(b) Se f é uma função par e g é uma função ímpar, então f+f \circ g é uma função par.

Passo 1

Enunciado e informações dadas, organizadas certinho para não perder o foco:
(a) Diz-se que \lim_{x\to a} f(x)=b e que g(b)=c. A pergunta é: a partir disso, podemos concluir que \lim_{x\to a} g(f(x))=c?
Informações dadas:
  • \lim_{x\to a} f(x)=b.
  • g(b)=c.
  • Não há informação adicional sobre g (por exemplo, continuidade) no enunciado.
(b) Diz-se que f é função par e g é função ímpar. A expressão considerada é h(x)=f(x)+ (f\circ g)(x)=f(x)+f(g(x)). A pergunta é: h é uma função par?
Informações dadas:
  • f é par, isto é, \forall x,\; f(-x)=f(x).
  • g é ímpar, isto é, \forall x,\; g(-x)=-g(x).
  • Queremos saber se h(-x)=h(x) para todo x.

Passo 2

Conceitos necessários (explicação didática e sem pular etapas) para responder (a):
  • O que significa \lim_{x\to a} f(x)=b? Significa que quando x se aproxima de a (mas não necessariamente vale a), os valores f(x) se aproximam de b. Formalmente (intuição): valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de b quando x fica suficientemente próximo de a.
  • O que significa que g é contínua em b? Significa que \lim_{y\to b} g(y)=g(b). Em palavras: se uma variável y se aproxima de b, então g(y) se aproxima de g(b).
Agora a ideia chave sobre composição de limites:
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=b e g for contínua em b, então \lim_{x\to a} g(f(x)) = g\bigl(\lim_{x\to a} f(x)\bigr) = g(b).
Isso é um teorema padrão: a continuidade de g em b permite “trocar” o limite e g. Mas repare: a hipótese de continuidade de g em b é essencial — sem ela a conclusão pode falhar.

Passo 3

Demonstração (rápida e intuitiva) do caso em que a conclusão é verdadeira: suponha que g é contínua em b.
Usando a caracterização sequencial de limites (muito útil e simples de aplicar): se x_n\to a com x_n\neq a, então f(x_n)\to b. Pela continuidade de g em b, g(f(x_n))\to g(b). Como isso vale para toda sequência x_n\to a, concluímos que \lim_{x\to a} g(f(x))=g(b). Portanto, com a hipótese extra de continuidade de g em b, a afirmação do item (a) seria verdadeira.

Passo 4

Por que o enunciado dado em (a) é insuficiente (ou seja, por que a afirmação é falsa sem hipótese extra)? Vamos construir um contraexemplo explícito, simples e bem didático.
Escolhemos [a=0) e b=0.
Definimos f por
f(x)=x,
então \lim_{x\to 0} f(x)=0 (claro: a função identidade tende a 0 quando x\to 0).
Definimos g de forma muito simples e deliberadamente descontínua em 0:
g(y)=\begin{cases} 0, & \text{se } y\neq 0,\\[4pt] 1, & \text{se } y=0. \end{cases}
Note que g(0)=1\], ou seja, no enunciado \(c=g(b)=g(0)=1.
Agora calculemos \lim_{x\to 0} g(f(x)). Como f(x)=x, temos g(f(x))=g(x). Para x\neq 0, g(x)=0. Assim, ao aproximarmos x de 0 por valores diferentes de 0, g(f(x)) vale sempre 0. Logo
\lim_{x\to 0} g(f(x)) = 0.
Mas g(b)=g(0)=1. Portanto
\lim_{x\to 0} g(f(x)) = 0 \neq 1 = g(b).
Este é um contraexemplo simples que mostra que, sem a hipótese de continuidade de g em b, a afirmação do item (a) pode falhar. Conclusão: a afirmação em (a) é falsa.]

Passo 5

Resumo da lição sobre (a) (para você decorar e usar na prova):
  • Regra correta que você deve lembrar: se \lim_{x\to a} f(x)=b e g é contínua em b, então \lim_{x\to a} g(f(x))=g(b).
  • Se o enunciado não garante continuidade de g em b, então não podemos concluir que \lim_{x\to a} g(f(x))=g(b). Um contraexemplo foi dado no passo anterior.
Agora vamos ao item (b).

Passo 6

Definições e estratégia para (b):
  • f é par significa \forall x,\; f(-x)=f(x).
  • g é ímpar significa \forall x,\; g(-x)=-g(x).
  • Queremos verificar se h(x)=f(x)+f(g(x)) é par, isto é, se \forall x,\; h(-x)=h(x).
Estratégia: calcular h(-x) usando as hipóteses sobre paridade e comparar com h(x).

Passo 7

Cálculo passo a passo de h(-x):
Definimos h(x)=f(x)+f(g(x)). Então
h(-x)=f(-x)+f\bigl(g(-x)\bigr).
Usamos as hipóteses:
  • Como f é par, f(-x)=f(x). Substituindo: h(-x)=f(x)+f\bigl(g(-x)\bigr).
  • Como g é ímpar, g(-x)=-g(x). Substituindo: h(-x)=f(x)+f\bigl(-g(x)\bigr).
  • Agora usamos novamente que f é par, portanto f(-g(x))=f(g(x)). Substituindo: h(-x)=f(x)+f\bigl(g(x)\bigr).
Mas o lado direito é exatamente h(x). Assim
h(-x)=h(x)\quad\text{para todo }x.
Portanto h é par.

Passo 8

Exemplo concreto (ilustrativo) para fixar a intuição:
  • Tome f(x)=x^2 (par) e g(x)=x^3 (ímpar). Então f(g(x))=(g(x))^2=(x^3)^2=x^6.Logo h(x)=x^2+x^6, que é claramente par (pois é soma de potências pares). Isso confirma o resultado do passo anterior com um exemplo numérico simples.

Passo 9

Conclusões finais e encorajamento:
  • (a) é falso: falta a hipótese de continuidade de g em b; dei um contraexemplo explícito.
  • (b) é verdadeiro: a verificação algébrica usando as definições de par e ímpar mostra que f+f\circ g é par.
Força aí — essa ideia de sempre checar hipóteses (como continuidade) é uma armadilha comum em provas; agora você já tem o contraexemplo na manga.

Resposta

(a) Falso.
(b) Verdadeiro.

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