(2, 0 pontos) Verdadeiro ou falso. Justifique como justifica
(a) Se
e
, então
.
(b) Se
é uma função par e
é uma função ímpar, então
é uma função par.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Enunciado e informações dadas, organizadas certinho para não perder o foco:
(a) Diz-se que
e que
. A pergunta é: a partir disso, podemos concluir que
?
Informações dadas:
-
. -
. - Não há informação adicional sobre
(por exemplo, continuidade) no enunciado.
(b) Diz-se que
é função par e
é função ímpar. A expressão considerada é
. A pergunta é:
é uma função par?
Informações dadas:
-
é par, isto é, . -
é ímpar, isto é, . - Queremos saber se
para todo .
Passo 2
Conceitos necessários (explicação didática e sem pular etapas) para responder (a):
-
O que significa
? Significa que quando se aproxima de (mas não necessariamente vale ), os valores se aproximam de . Formalmente (intuição): valores de ficam arbitrariamente próximos de quando fica suficientemente próximo de . -
O que significa que
é contínua em ? Significa que . Em palavras: se uma variável se aproxima de , então se aproxima de .
Agora a ideia chave sobre composição de limites:
- Se
e for contínua em , então
Isso é um teorema padrão: a continuidade de
em
permite “trocar” o limite e
. Mas repare: a hipótese de continuidade de
em
é essencial — sem ela a conclusão pode falhar.
Passo 3
Demonstração (rápida e intuitiva) do caso em que a conclusão é verdadeira: suponha que
é contínua em
.
Usando a caracterização sequencial de limites (muito útil e simples de aplicar): se
com
, então
. Pela continuidade de
em
,
. Como isso vale para toda sequência
, concluímos que
. Portanto, com a hipótese extra de continuidade de
em
, a afirmação do item (a) seria verdadeira.
Passo 4
Por que o enunciado dado em (a) é insuficiente (ou seja, por que a afirmação é falsa sem hipótese extra)? Vamos construir um contraexemplo explícito, simples e bem didático.
Escolhemos [a=0) e
.
Definimos
por
então
(claro: a função identidade tende a
quando
).
Definimos
de forma muito simples e deliberadamente descontínua em
:
Note que
.
Agora calculemos
. Como
, temos
. Para
,
. Assim, ao aproximarmos
de
por valores diferentes de
,
vale sempre
. Logo
Mas
. Portanto
Este é um contraexemplo simples que mostra que, sem a hipótese de continuidade de
em
, a afirmação do item (a) pode falhar. Conclusão: a afirmação em (a) é falsa.]
Passo 5
Resumo da lição sobre (a) (para você decorar e usar na prova):
- Regra correta que você deve lembrar: se
e é contínua em , então . - Se o enunciado não garante continuidade de
em , então não podemos concluir que . Um contraexemplo foi dado no passo anterior.
Agora vamos ao item (b).
Passo 6
Definições e estratégia para (b):
-
é par significa . -
é ímpar significa . - Queremos verificar se
é par, isto é, se .
Estratégia: calcular
usando as hipóteses sobre paridade e comparar com
.
Passo 7
Cálculo passo a passo de
:
Definimos
. Então
Usamos as hipóteses:
- Como
é par, . Substituindo: - Como
é ímpar, . Substituindo: - Agora usamos novamente que
é par, portanto . Substituindo:
Mas o lado direito é exatamente
. Assim
Portanto
é par.
Passo 8
Exemplo concreto (ilustrativo) para fixar a intuição:
- Tome
(par) e (ímpar). Então Logo , que é claramente par (pois é soma de potências pares). Isso confirma o resultado do passo anterior com um exemplo numérico simples.
Passo 9
Conclusões finais e encorajamento:
- (a) é falso: falta a hipótese de continuidade de
em ; dei um contraexemplo explícito. - (b) é verdadeiro: a verificação algébrica usando as definições de par e ímpar mostra que
é par.
Força aí — essa ideia de sempre checar hipóteses (como continuidade) é uma armadilha comum em provas; agora você já tem o contraexemplo na manga.
Resposta
(a) Falso.
(b) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.