Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(x-\sqrt{x^{2}+x}\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \,x-\sqrt{x^{2}+x}\, e o limite é quando x tende a +\infty.
  • Observando a forma, cada parcela tende a infinito: x\to\infty e \sqrt{x^{2}+x}\to\infty. Portanto a forma é do tipo \infty-\infty, uma forma indefinida que exige manipulação para calcular o limite.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): a regra de L’Hôpital só vale para quocientes com forma indeterminada \,0/0 ou \infty/\infty. Então vamos reescrever a expressão original como um quociente que fica na forma 0/0 quando x\to\infty, aplicar a regra de L’Hôpital e resolver. Vou mostrar passo a passo cada manipulação e todas as derivadas usadas (sem pular etapas), explicando as regras como se estivéssemos juntos na prova.

Passo 3

Reescrevendo a expressão para obter um quociente adequado:
Primeiro fatoramos x em \sqrt{x^{2}+x} usando \sqrt{x^{2}+x}=|x|\sqrt{1+1/x}. Para x\to\infty temos |x|=x. Assim escrevemos
x-\sqrt{x^{2}+x}=x-\;x\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}=x\Bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}\Bigr).
Agora note que x=\dfrac{1}{1/x}. Então podemos escrever o produto como quociente:
x\Bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}\Bigr)=\frac{1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}{1/x}.
Portanto o limite original é igual a
\lim_{x\to\infty}\frac{1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}{1/x}.

Passo 4

Verificação da forma indeterminada e condição para usar L’Hôpital:
  • Quando x\to\infty, \tfrac{1}{x}\to 0, então \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}\to 1. Logo o numerador tende a 1-1=0.
  • O denominador 1/x tende a 0.
    Então a expressão tem forma 0/0, o que permite aplicar a Regra de L’Hôpital (desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis em um intervalo eventual). Aqui ambas as funções são diferenciáveis para x\neq 0, logo podemos aplicar L’Hôpital: o limite é igual ao limite do quociente entre as derivadas do numerador e do denominador (se esse limite existir).
Breve explicação da Regra de L’Hôpital (em palavras simples): se \lim f(x)=0 e \lim g(x)=0 (ou ambos \infty), e f,g são diferenciáveis, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty). Usamos isso para transformar uma indeterminação numa forma que dá para calcular.

Passo 5

Calcular a derivada do numerador
Definimos a função numerador f(x)=1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}.
Para derivar usamos a regra da cadeia. Seja u(x)=1+\tfrac{1}{x} e h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
  • Derivada de h(u) em relação a u é \dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Derivada de u(x)=1+\tfrac{1}{x} em relação a x é u'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(1+x^{-1}\bigr)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Aplicando a cadeia:
\frac{d}{dx}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}=\frac{1}{2\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{1}{2x^{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}.
Como f(x)=1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}, temos
f'(x)= -\left(-\frac{1}{2x^{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}\right)=\frac{1}{2x^{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}.
Observe que fiz passo a passo: cadeia + derivada de 1/x.

Passo 6

Calcular a derivada do denominador
Denominador g(x)=\tfrac{1}{x}=x^{-1}. A derivada é
g'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 7

Aplicando a regra de L’Hôpital: o limite original é igual a
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{2x^{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Agora simplificamos o quociente: dividir por -1/x^{2} é multiplicar por -x^{2}. Assim
\frac{\dfrac{1}{2x^{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} =\left(\frac{1}{2x^{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}\right)\cdot\left(-x^{2}\right) =-\frac{1}{2\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}.
Note que os fatores x^{2} cancelaram, o que é bem comum nessas manipulações — por isso muitas vezes a forma final fica simples.

Passo 8

Calcular o limite final:
Agora precisamos de
\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{1}{2\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}}\right).
Quando x\to\infty temos \tfrac{1}{x}\to 0 e portanto \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}\to\sqrt{1}=1. Logo o limite é
-\frac{1}{2\cdot 1}=-\frac{1}{2}.
Concluímos que o limite pedido é -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\frac{1}{2}

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