Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+x}\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(x-\sqrt{x^{2}+x}\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A expressão é \,x-\sqrt{x^{2}+x}\, e o limite é quando x tende a +\infty.
Observando a forma, cada parcela tende a infinito: x\to\infty e \sqrt{x^{2}+x}\to\infty. Portanto a forma é do tipo \infty-\infty, uma forma indefinida que exige manipulação para calcular o limite.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): a regra de L’Hôpital só vale para quocientes com forma indeterminada \,0/0 ou \infty/\infty. Então vamos reescrever a expressão original como um quociente que fica na forma 0/0 quando x\to\infty, aplicar a regra de L’Hôpital e resolver. Vou mostrar passo a passo cada manipulação e todas as derivadas usadas (sem pular etapas), explicando as regras como se estivéssemos juntos na prova.
Passo 3
Reescrevendo a expressão para obter um quociente adequado:
Primeiro fatoramos x em \sqrt{x^{2}+x} usando \sqrt{x^{2}+x}=|x|\sqrt{1+1/x}. Para x\to\infty temos |x|=x. Assim escrevemos
Verificação da forma indeterminada e condição para usar L’Hôpital:
Quando x\to\infty, \tfrac{1}{x}\to 0, então \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}\to 1. Logo o numerador tende a 1-1=0.
O denominador 1/x tende a 0.
Então a expressão tem forma 0/0, o que permite aplicar a Regra de L’Hôpital (desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis em um intervalo eventual). Aqui ambas as funções são diferenciáveis para x\neq 0, logo podemos aplicar L’Hôpital: o limite é igual ao limite do quociente entre as derivadas do numerador e do denominador (se esse limite existir).
Breve explicação da Regra de L’Hôpital (em palavras simples): se \lim f(x)=0 e \lim g(x)=0 (ou ambos \infty), e f,g são diferenciáveis, então
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty). Usamos isso para transformar uma indeterminação numa forma que dá para calcular.
Passo 5
Calcular a derivada do numerador
Definimos a função numerador f(x)=1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}.
Para derivar usamos a regra da cadeia. Seja u(x)=1+\tfrac{1}{x} e h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
Derivada de h(u) em relação a u é \dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.
Derivada de u(x)=1+\tfrac{1}{x} em relação a x é u'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(1+x^{-1}\bigr)=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.