Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
f(x)=\frac{x^{3}}{3 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função
f(x)=\frac{x^{3}}{3x^{2}+1}.
As perguntas são:
  1. Determinar os pontos críticos (pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) é indefinida).
  2. Determinar os pontos de inflexão (pontos onde a concavidade muda, normalmente onde f''(x)=0 ou f''(x) é indefinida e há troca de sinal).
  3. Esboçar o gráfico (dar a ideia da forma: monotonia, concavidade, interceptos e assíntotas importantes).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é dada explicitamente por f(x)=\dfrac{x^{3}}{3x^{2}+1}.
  • O denominador 3x^{2}+1 nunca é zero (porque 3x^{2}+1\ge1>0 para todo x), então f está definida para todo x\in\mathbb{R}.
A partir daqui vamos calcular f' e f'' e usar esses resultados para responder as três perguntas.

Passo 2

Derivada primeira: aplicar a regra do quociente.
Regra do quociente (pequena aula): se temos F(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
F'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x^{3} e v(x)=3x^{2}+1. Vamos calcular u'(x) e v'(x):
u'(x)=3x^{2},\qquad v'(x)=6x.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{3x^{2}(3x^{2}+1)-x^{3}\cdot 6x}{(3x^{2}+1)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
3x^{2}(3x^{2}+1)-6x^{4}=9x^{4}+3x^{2}-6x^{4}=3x^{4}+3x^{2}=3x^{2}(x^{2}+1).
Portanto
f'(x)=\frac{3x^{2}(x^{2}+1)}{(3x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Interpretação de f' e pontos críticos.
Observações importantes sobre f'(x):
  • O denominador (3x^{2}+1)^{2} é sempre positivo (nunca zero).
  • O fator x^{2}+1 é sempre positivo (nunca zero).
  • O único fator que pode ser zero é x^{2}, ou seja, x=0.
Logo f'(x)=0 somente em x=0. f'(x) é definida para todo x. Então o único ponto crítico (por derivada zero ou indefinição) é x=0.
Para analisar se é máximo ou mínimo usamos a informação do sinal de f': note que para x\neq0 temos x^{2}>0 e portanto f'(x)>0. Assim f' é positiva em todo o domínio exceto em x=0, onde é zero. Isso significa que a função é crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty) e que em x=0 a derivada anula mas não há troca de sinal de f'. Conclusão preliminar: x=0 é um ponto crítico onde a função NÃO tem máximo nem mínimo local; é um ponto estacionário, provavelmente um ponto de inflexão horizontal (vamos confirmar com f'').
Também calculamos o valor da função neste ponto:
f(0)=\frac{0^{3}}{3\cdot0^{2}+1}=0,
então o ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Derivada segunda: vamos derivar f'(x)=\dfrac{3x^{2}(x^{2}+1)}{(3x^{2}+1)^{2}}.
Duas abordagens: usar produto/quotient. Vou usar a fórmula do quociente novamente com
g(x)=3x^{2}(x^{2}+1)=3x^{4}+3x^{2},\qquad h(x)=(3x^{2}+1)^{2}.
Calcule g'(x) e h'(x):
g'(x)=12x^{3}+6x=6x(2x^{2}+1),
h'(x)=2(3x^{2}+1)\cdot 6x=12x(3x^{2}+1).
Agora a regra do quociente:
f''(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Substituindo:
f''(x)=\frac{(12x^{3}+6x)(3x^{2}+1)^{2}-(3x^{4}+3x^{2})\cdot 12x(3x^{2}+1)}{(3x^{2}+1)^{4}}.
Fatorando com calma para simplificar o numerador (mostrando cada passo):
Coloco 6x(3x^{2}+1) em evidência:
\begin{aligned} \text{num} &=6x(3x^{2}+1)\Big[(2x^{2}+1)(3x^{2}+1)-6x^{2}(x^{2}+1)\Big]. \end{aligned}
Calculando o que está entre colchetes:
(2x^{2}+1)(3x^{2}+1)=6x^{4}+5x^{2}+1,
6x^{2}(x^{2}+1)=6x^{4}+6x^{2},
logo a diferença é
6x^{4}+5x^{2}+1-(6x^{4}+6x^{2})=1-x^{2}.
Portanto o numerador fica
6x(3x^{2}+1)(1-x^{2}).
Cancelando um fator (3x^{2}+1) com o denominador (3x^{2}+1)^{4}, obtemos
f''(x)=\frac{6x(1-x^{2})}{(3x^{2}+1)^{3}}.

Passo 5

Analisar f''(x) para achar pontos de inflexão e concavidade.
Pontos onde f''(x)=0 ocorrem quando o numerador 6x(1-x^{2}) é zero, pois o denominador é sempre positivo. Assim:
6x(1-x^{2})=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=\pm1.
Esses são candidatos a pontos de inflexão. Para ser ponto de inflexão precisamos que a concavidade mude de sinal ao atravessar o ponto.
Vamos verificar o sinal de f''(x). Note que o sinal de f''(x) depende do produto x(1-x^{2}):
  • Para x<-1: x<0 e 1-x^{2}<0 ⇒ produto positivo ⇒ f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Para -1<x<0: x<0 e 1-x^{2}>0 ⇒ produto negativo ⇒ f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Para 0<x<1: x>0 e 1-x^{2}>0 ⇒ produto positivo ⇒ f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Para x>1: x>0 e 1-x^{2}<0 ⇒ produto negativo ⇒ f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Há troca de sinal em x=-1,0,1. Portanto todos os três são pontos de inflexão.
Calcule os valores de f nesses pontos:
f(-1)=\frac{(-1)^{3}}{3\cdot(-1)^{2}+1}=\frac{-1}{3+1}=-\frac{1}{4},
f(0)=0,
f(1)=\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}.
Logo os pontos de inflexão são \big(-1,-\tfrac14\big), (0,0) e \big(1,\tfrac14\big).

Passo 6

Classificação do ponto crítico em x=0.
Já vimos que f'(x) muda de sinal? Não — f'(x)>0 para x<0 (exceto em 0) e f'(x)>0 para x>0. Então não há troca de sinal de f' em 0, portanto não há máximo ou mínimo local. No entanto x=0 é ponto crítico (pois f'(0)=0) e além disso é um ponto de inflexão (já constatado): é um ponto de inflexão estacionário (horizontal inflection point). Em palavras mais simples: a curva fica “achatada” em 0 mas continua aumentando; a concavidade muda aí.

Passo 7

Outros dados úteis para o esboço (interceptos, monotonia, assíntotas e comportamento infinito).
Interceptos:
  • Intercepto em y: f(0)=0 (ponto na origem).
  • Interceptos em x: zeros do numerador ⇒ x=0 (único zero).
Monotonia:
  • Como vimos, f'(x)\ge0 para todo x, com f'(x)>0 para x\neq0. Logo f é estritamente crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty) e globalmente crescente (não decresce em nenhum ponto).
Assíntota oblíqua (linha que a curva se aproxima quando |x|\to\infty):
Faça divisão polinomial ou observar grau: para grandes |x|,
f(x)=\frac{x^{3}}{3x^{2}+1}\sim\frac{x^{3}}{3x^{2}}=\frac{x}{3}.
Fazendo a divisão exata:
\frac{x^{3}}{3x^{2}+1}=\frac{x}{3}-\frac{\tfrac{1}{3}x}{3x^{2}+1}.
O segundo termo tende a 0 quando |x|\to\infty. Portanto a assíntota oblíqua é
y=\frac{x}{3}.
Sinal relativo à assíntota: como o termo de correção é -\dfrac{1}{3}\dfrac{x}{3x^{2}+1}, para x>0 esse termo é negativo ⇒ f(x)<\dfrac{x}{3}; para x<0 é positivo ⇒ f(x)>\dfrac{x}{3}.

Passo 8

Resumo da forma do gráfico e instruções para esboçar (como um amigo te falando como desenhar no caderno).
  • A curva passa pela origem (0,0), é crescente em toda a reta e tem ponto estacionário em 0 (achatamento horizontal).
  • Há três pontos de inflexão: \big(-1,-\tfrac14\big) (troca de concavidade para cima→baixo), (0,0) (baixo→cima) e \big(1,\tfrac14\big) (cima→baixo), conforme a tabela de sinais do f''.
  • Para x\to -\infty a curva aproxima-se da reta y=\dfrac{x}{3} vindo por cima; para x\to+\infty aproxima-se de y=\dfrac{x}{3} vindo por baixo.
  • Para desenhar: trace a reta y=\dfrac{x}{3} como guia; desenhe a curva passando por (-1,-\tfrac14), (0,0), (1,\tfrac14), sendo crescente sempre; entre -\infty e -1 a curva é côncava para cima, entre -1 e 0 côncava para baixo, entre 0 e 1 côncava para cima, e para x>1 côncava para baixo. A curva fica acima da reta assíntota para x<0 e abaixo para x>0.

Resposta

Pontos críticos: [(0,0)) (único ponto crítico; ponto estacionário sem máximo nem mínimo — é um ponto de inflexão horizontal).
Pontos de inflexão: \big(-1,-\tfrac{1}{4}\big),\;(0,0),\;\big(1,\tfrac{1}{4}\big).
Esboço / comportamento: função crescente em todo \mathbb{R}; concavidade
\begin{cases} \text{concava para cima} & \text{em }(-\infty,-1)\cup(0,1),\\[4pt] \text{concava para baixo} & \text{em }(-1,0)\cup(1,\infty). \end{cases}
Assíntota oblíqua: y=\dfrac{x}{3}\]. Intercepto em \(0: (0,0).]

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