Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
As perguntas são:
- Determinar os pontos críticos (pontos onde
ou é indefinida). - Determinar os pontos de inflexão (pontos onde a concavidade muda, normalmente onde
ou é indefinida e há troca de sinal). - Esboçar o gráfico (dar a ideia da forma: monotonia, concavidade, interceptos e assíntotas importantes).
Informações relevantes do enunciado:
- A função é dada explicitamente por
. - O denominador
nunca é zero (porque para todo ), então está definida para todo .
A partir daqui vamos calcular
e
e usar esses resultados para responder as três perguntas.
Passo 2
Derivada primeira: aplicar a regra do quociente.
Regra do quociente (pequena aula): se temos
com
, então
Aqui
e
. Vamos calcular
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 3
Interpretação de
e pontos críticos.
Observações importantes sobre
:
- O denominador
é sempre positivo (nunca zero). - O fator
é sempre positivo (nunca zero). - O único fator que pode ser zero é
, ou seja, .
Logo
somente em
.
é definida para todo
. Então o único ponto crítico (por derivada zero ou indefinição) é
.
Para analisar se é máximo ou mínimo usamos a informação do sinal de
: note que para
temos
e portanto
. Assim
é positiva em todo o domínio exceto em
, onde é zero. Isso significa que a função é crescente em
e em
e que em
a derivada anula mas não há troca de sinal de
. Conclusão preliminar:
é um ponto crítico onde a função NÃO tem máximo nem mínimo local; é um ponto estacionário, provavelmente um ponto de inflexão horizontal (vamos confirmar com
).
Também calculamos o valor da função neste ponto:
então o ponto crítico é
.
Passo 4
Derivada segunda: vamos derivar
.
Duas abordagens: usar produto/quotient. Vou usar a fórmula do quociente novamente com
Calcule
e
:
Agora a regra do quociente:
Substituindo:
Fatorando com calma para simplificar o numerador (mostrando cada passo):
Coloco em evidência:
Coloco
Calculando o que está entre colchetes:
logo a diferença é
Portanto o numerador fica
Cancelando um fator
com o denominador
, obtemos
Passo 5
Analisar
para achar pontos de inflexão e concavidade.
Pontos onde
ocorrem quando o numerador
é zero, pois o denominador é sempre positivo. Assim:
Esses são candidatos a pontos de inflexão. Para ser ponto de inflexão precisamos que a concavidade mude de sinal ao atravessar o ponto.
Vamos verificar o sinal de
. Note que o sinal de
depende do produto
:
- Para
: e ⇒ produto positivo ⇒ (concavidade para cima). - Para
: e ⇒ produto negativo ⇒ (concavidade para baixo). - Para
: e ⇒ produto positivo ⇒ (concavidade para cima). - Para
: e ⇒ produto negativo ⇒ (concavidade para baixo).
Há troca de sinal em
. Portanto todos os três são pontos de inflexão.
Calcule os valores de
nesses pontos:
Logo os pontos de inflexão são
,
e
.
Passo 6
Classificação do ponto crítico em
.
Já vimos que
muda de sinal? Não —
para
(exceto em 0) e
para
. Então não há troca de sinal de
em
, portanto não há máximo ou mínimo local. No entanto
é ponto crítico (pois
) e além disso é um ponto de inflexão (já constatado): é um ponto de inflexão estacionário (horizontal inflection point). Em palavras mais simples: a curva fica “achatada” em
mas continua aumentando; a concavidade muda aí.
Passo 7
Outros dados úteis para o esboço (interceptos, monotonia, assíntotas e comportamento infinito).
Interceptos:
- Intercepto em
: (ponto na origem). - Interceptos em
: zeros do numerador ⇒ (único zero).
Monotonia:
- Como vimos,
para todo , com para . Logo é estritamente crescente em e em e globalmente crescente (não decresce em nenhum ponto).
Assíntota oblíqua (linha que a curva se aproxima quando
):
Faça divisão polinomial ou observar grau: para grandes ,
Faça divisão polinomial ou observar grau: para grandes
Fazendo a divisão exata:
O segundo termo tende a
quando
. Portanto a assíntota oblíqua é
Sinal relativo à assíntota: como o termo de correção é
, para
esse termo é negativo ⇒
; para
é positivo ⇒
.
Passo 8
Resumo da forma do gráfico e instruções para esboçar (como um amigo te falando como desenhar no caderno).
- A curva passa pela origem
, é crescente em toda a reta e tem ponto estacionário em (achatamento horizontal). - Há três pontos de inflexão:
(troca de concavidade para cima→baixo), (baixo→cima) e (cima→baixo), conforme a tabela de sinais do . - Para
a curva aproxima-se da reta vindo por cima; para aproxima-se de vindo por baixo. - Para desenhar: trace a reta
como guia; desenhe a curva passando por , , , sendo crescente sempre; entre e a curva é côncava para cima, entre e côncava para baixo, entre e côncava para cima, e para côncava para baixo. A curva fica acima da reta assíntota para e abaixo para .
Resposta
Pontos críticos: [(0,0)) (único ponto crítico; ponto estacionário sem máximo nem mínimo — é um ponto de inflexão horizontal).
Pontos de inflexão:
.
Esboço / comportamento: função crescente em todo
; concavidade
Assíntota oblíqua:
:
.]