Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
f(x)=\left(2-x^{2}\right)^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left(2-x^{2}\right)^{3/2} e pede três coisas:
  1. Determinar os pontos críticos.
  2. Determinar os pontos de inflexão.
  3. Esboçar o gráfico da função (dar as informações principais para desenhar).
Informações dadas e observações iniciais que precisamos usar: a função é escrita em termos de \left(2-x^{2}\right)^{3/2}, logo a expressão interna 2-x^{2} precisa ser maior ou igual a zero para a função ser real. Não há figura adicional. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Determinar o domínio da função (onde f está definida).
A parte interna é 2-x^{2}. Para que \left(2-x^{2}\right)^{3/2} seja real precisamos de 2-x^{2}\ge 0. Assim:
2-x^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 2 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}.
Portanto o domínio é \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]. É importante porque só podemos procurar pontos críticos e de inflexão dentro desse intervalo.

Passo 3

Calcular a derivada primeira f'(x) aplicando a regra da cadeia e explicar a regra:
Se temos uma função composta g(x) = h(u(x)), a regra da cadeia diz que g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x). Aqui h(u)=u^{3/2} e u(x)=2-x^{2}.
  • Derivada de h(u)=u^{3/2} é h'(u)=\dfrac{3}{2}u^{1/2}.
  • Derivada de u(x)=2-x^{2} é u'(x)=-2x.
    Aplicando:
f'(x)=\frac{3}{2}\,(2-x^{2})^{1/2}\cdot(-2x).
Simplificando o fator \frac{3}{2}\cdot(-2x)=-3x, obtemos
f'(x)=-3x\,(2-x^{2})^{1/2}.
Explicação do resultado: (2-x^{2})^{1/2} é a raiz quadrada de 2-x^{2}; o sinal de f' em pontos interiores depende essencialmente do fator -3x porque a raiz é não-negativa no domínio.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos a partir de f'(x). Definição usada: pontos críticos são pontos do domínio onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe.
Temos f'(x)=-3x\,(2-x^{2})^{1/2}. No domínio (2-x^{2})^{1/2} existe e é finito para todo |x|<\sqrt{2}, e é zero em x=\pm\sqrt{2}. Logo:
  • Resolver f'(x)=0: produto é zero se x=0 ou (2-x^{2})^{1/2}=0. A raiz é zero quando x^{2}=2, isto é x=\pm\sqrt{2}.
  • Não há pontos onde f'(x) não exista no interior do domínio; a expressão está bem definida para |x|<\sqrt{2} e tem valores laterais nos extremos do intervalo.
Assim, os candidatos críticos no domínio são
x=-\sqrt{2},\quad x=0,\quad x=\sqrt{2}.
Para cada um podemos anotar os valores de f:
f(0)=(2-0)^{3/2}=2^{3/2}=2\sqrt{2},
f(\pm\sqrt{2})=\left(2-(\sqrt{2})^{2}\right)^{3/2}=(2-2)^{3/2}=0.

Passo 5

Calcular a derivada segunda f''(x) para estudar concavidade e pontos de inflexão. Vamos derivar f'(x)=-3x\,(2-x^{2})^{1/2} usando a regra do produto e novamente a regra da cadeia. Regra do produto: se v(x)=p(x)q(x) então v'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Tomando p(x)=-3x e q(x)=(2-x^{2})^{1/2}:
  • p'(x)=-3.
  • q'(x)=\dfrac{1}{2}(2-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-x(2-x^{2})^{-1/2} (aqui aplicamos a cadeia de novo).
Aplicando a regra do produto:
f''(x)= -3\,(2-x^{2})^{1/2} + (-3x)\cdot\bigl(-x(2-x^{2})^{-1/2}\bigr).
Simplificando o segundo termo:
(-3x)\cdot(-x(2-x^{2})^{-1/2}) = 3x^{2}(2-x^{2})^{-1/2}.
Colocando sobre um denominador comum (2-x^{2})^{1/2}:
f''(x) = \frac{-3(2-x^{2}) + 3x^{2}}{(2-x^{2})^{1/2}}.
Desenvolvendo o numerador:
-3(2-x^{2}) + 3x^{2} = -6 +3x^{2} +3x^{2} = -6 +6x^{2} = 6(x^{2}-1).
Portanto
\boxed{\,f''(x)=\dfrac{6\left(x^{2}-1\right)}{(2-x^{2})^{1/2}}\,}
válido para -\sqrt{2}<x<\sqrt{2} (onde o denominador é positivo). Observação: em x=\pm\sqrt{2} o segundo derivado tem denominador zero, então não está definida aí da forma explícita, mas esses pontos são extremos do intervalo.

Passo 6

Determinar os pontos de inflexão: definição usada e aplicação prática.
Um ponto de inflexão é um ponto interior do domínio onde a concavidade muda (ou seja, onde f'' muda de sinal). Para candidatos, resolvemos f''(x)=0 (onde numerador é zero) ou pontos onde f'' não existe (e há troca de concavidade).
De f''(x)=\dfrac{6(x^{2}-1)}{(2-x^{2})^{1/2}}, o numerador 6(x^{2}-1)=0 quando x^{2}=1, ou seja x=\pm 1. Esses pontos estão no domínio, pois |1|<\sqrt{2}. O denominador é positivo aí, então f'' é zero e pode trocar de sinal. Vamos verificar o sinal de f'' de cada lado (razão simples):
  • Se |x|<1 então x^{2}-1<0 e denominador positivo, logo f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Se 1<|x|<\sqrt{2} então x^{2}-1>0 e denominador positivo, logo f''(x)>0: concavidade para cima.
Como o sinal muda de negativo para positivo ao atravessar x=1 (e simetricamente em x=-1), ambos são pontos de inflexão. Os valores da função nesses pontos:
f(\pm 1)=\left(2-1^{2}\right)^{3/2}=1^{3/2}=1.
Portanto os pontos de inflexão são (-1,1) e (1,1).

Passo 7

Classificação dos pontos críticos (máximo/minimo) usando o sinal de f' e/ou f''. Vamos analisar monotonicidade e usar o teste da segunda derivada quando for conveniente.
Recordando f'(x)=-3x\,(2-x^{2})^{1/2}. Como (2-x^{2})^{1/2}\ge 0 no domínio, o sinal de f' é o sinal de -x:
  • Para x<0: -x>0 então f'(x)>0. A função cresce em \left(-\sqrt{2},0\right).
  • Para x>0: -x<0 então f'(x)<0. A função decresce em \left(0,\sqrt{2}\right).
Logo em x=0 há uma mudança de crescente para decrescente — portanto x=0 é um máximo local. Podemos confirmar pelo teste da segunda derivada: f''(0)=\dfrac{6(0-1)}{\sqrt{2}}=-\dfrac{6}{\sqrt{2}}<0, o que indica máximo local. Valor: f(0)=2^{3/2}=2\sqrt{2}.
Nos extremos do domínio x=\pm\sqrt{2} temos f(\pm\sqrt{2})=0. No intervalo fechado [- \sqrt{2},\sqrt{2}] esses são os pontos onde a função atinge seu menor valor (zero) — são mínimos globais no domínio (não há valor negativo da função). Observação: nos extremos a derivada lateral tende a zero pela expressão de f', então são pontos de interesse (candidatos) e aqui são mínimos.
Resumo da classificação:
  • x=0 é máximo local (e também máximo global no domínio), com f(0)=2\sqrt{2}.
  • x=\pm\sqrt{2} são mínimos (globais no domínio) com f(\pm\sqrt{2})=0.

Passo 8

Intervalos de concavidade e resumo para esboço:
Usando o sinal de f''(x)=\dfrac{6(x^{2}-1)}{(2-x^{2})^{1/2}}:
  • Para -\sqrt{2}<x<-1: x^{2}>1 portanto f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para -1<x<1: x^{2}<1 portanto f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para 1<x<\sqrt{2}: x^{2}>1 portanto f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
Juntando com monotonicidade: a função cresce desde -\sqrt{2} até 0, com concavidade primeiro para cima em (- \sqrt{2},-1), passa por ponto de inflexão em -1, depois cresce com concavidade para baixo até 0. A partir de 0 a função decresce, com concavidade para baixo até 1, ponto de inflexão em 1, e depois decresce com concavidade para cima até \sqrt{2}.

Passo 9

Observações de simetria e pontos-chave para o esboço (como se fosse um desenho passo a passo):
  • A função é par, pois depende de x^{2}: f(-x)=f(x). Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Zeros (intersecções com o eixo x): (-\sqrt{2},0) e (\sqrt{2},0).
  • Máximo: (0,2\sqrt{2}).
  • Pontos de inflexão: (-1,1) e (1,1).
  • Concavidade: cima em (- \sqrt{2},-1)\cup(1,\sqrt{2}), baixo em (-1,1).
    Com esses pontos e comportamentos dá para traçar um esboço: uma “colina” simétrica, pico em x=0, cai suavemente até os zeros em \pm\sqrt{2}, com as mudanças de curvatura em \pm1.

Resposta

Pontos críticos: (- \sqrt{2},0), (0,2\sqrt{2}), (\sqrt{2},0)
Pontos de inflexão: (-1,1), (1,1)
Esboço / características do gráfico: função par; máximo global em (0,2\sqrt{2}); zeros em x=\pm\sqrt{2}; cresce em (- \sqrt{2},0) e decresce em (0,\sqrt{2}); concavidade para cima em (- \sqrt{2},-1) e (1,\sqrt{2}), concavidade para baixo em (-1,1).

Exercícios relacionados