Utilizando a primeira e a segunda derivada determine os pontos críticos, pontos de inflexão e esboce os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Determinar os pontos críticos.
- Determinar os pontos de inflexão.
- Esboçar o gráfico da função (dar as informações principais para desenhar).
Informações dadas e observações iniciais que precisamos usar: a função é escrita em termos de
, logo a expressão interna
precisa ser maior ou igual a zero para a função ser real. Não há figura adicional. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Determinar o domínio da função (onde
está definida).
A parte interna é . Para que
seja real precisamos de
. Assim:
A parte interna é
Portanto o domínio é
. É importante porque só podemos procurar pontos críticos e de inflexão dentro desse intervalo.
Passo 3
Calcular a derivada primeira
aplicando a regra da cadeia e explicar a regra:
Se temos uma função composta , a regra da cadeia diz que
. Aqui
e
.
Se temos uma função composta
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando:
Simplificando o fator
, obtemos
Explicação do resultado:
é a raiz quadrada de
; o sinal de
em pontos interiores depende essencialmente do fator
porque a raiz é não-negativa no domínio.
Passo 4
Encontrar os pontos críticos a partir de
. Definição usada: pontos críticos são pontos do domínio onde
ou onde
não existe.
Temos . No domínio
existe e é finito para todo
, e é zero em
. Logo:
Temos
- Resolver
: produto é zero se ou . A raiz é zero quando , isto é . - Não há pontos onde
não exista no interior do domínio; a expressão está bem definida para e tem valores laterais nos extremos do intervalo.
Assim, os candidatos críticos no domínio são
Para cada um podemos anotar os valores de
:
Passo 5
Calcular a derivada segunda
para estudar concavidade e pontos de inflexão. Vamos derivar
usando a regra do produto e novamente a regra da cadeia. Regra do produto: se
então
.
Tomando
e
:
-
. -
(aqui aplicamos a cadeia de novo).
Aplicando a regra do produto:
Simplificando o segundo termo:
Colocando sobre um denominador comum
:
Desenvolvendo o numerador:
Portanto
válido para
(onde o denominador é positivo). Observação: em
o segundo derivado tem denominador zero, então não está definida aí da forma explícita, mas esses pontos são extremos do intervalo.
Passo 6
Determinar os pontos de inflexão: definição usada e aplicação prática.
Um ponto de inflexão é um ponto interior do domínio onde a concavidade muda (ou seja, onde muda de sinal). Para candidatos, resolvemos
(onde numerador é zero) ou pontos onde
não existe (e há troca de concavidade).
Um ponto de inflexão é um ponto interior do domínio onde a concavidade muda (ou seja, onde
De
, o numerador
quando
, ou seja
. Esses pontos estão no domínio, pois
. O denominador é positivo aí, então
é zero e pode trocar de sinal. Vamos verificar o sinal de
de cada lado (razão simples):
- Se
então e denominador positivo, logo : concavidade para baixo. - Se
então e denominador positivo, logo : concavidade para cima.
Como o sinal muda de negativo para positivo ao atravessar
(e simetricamente em
), ambos são pontos de inflexão. Os valores da função nesses pontos:
Portanto os pontos de inflexão são
e
.
Passo 7
Classificação dos pontos críticos (máximo/minimo) usando o sinal de
e/ou
. Vamos analisar monotonicidade e usar o teste da segunda derivada quando for conveniente.
Recordando
. Como
no domínio, o sinal de
é o sinal de
:
- Para
: então . A função cresce em . - Para
: então . A função decresce em .
Logo em
há uma mudança de crescente para decrescente — portanto
é um máximo local. Podemos confirmar pelo teste da segunda derivada:
, o que indica máximo local. Valor:
.
Nos extremos do domínio
temos
. No intervalo fechado
esses são os pontos onde a função atinge seu menor valor (zero) — são mínimos globais no domínio (não há valor negativo da função). Observação: nos extremos a derivada lateral tende a zero pela expressão de
, então são pontos de interesse (candidatos) e aqui são mínimos.
Resumo da classificação:
-
é máximo local (e também máximo global no domínio), com . -
são mínimos (globais no domínio) com .
Passo 8
Intervalos de concavidade e resumo para esboço:
Usando o sinal de :
Usando o sinal de
- Para
: portanto ⇒ concavidade para cima. - Para
: portanto ⇒ concavidade para baixo. - Para
: portanto ⇒ concavidade para cima.
Juntando com monotonicidade: a função cresce desde
até
, com concavidade primeiro para cima em
, passa por ponto de inflexão em
, depois cresce com concavidade para baixo até
. A partir de
a função decresce, com concavidade para baixo até
, ponto de inflexão em
, e depois decresce com concavidade para cima até
.
Passo 9
Observações de simetria e pontos-chave para o esboço (como se fosse um desenho passo a passo):
- A função é par, pois depende de
: . Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo . - Zeros (intersecções com o eixo
): e . - Máximo:
. - Pontos de inflexão:
e . - Concavidade: cima em
, baixo em .
Com esses pontos e comportamentos dá para traçar um esboço: uma “colina” simétrica, pico em, cai suavemente até os zeros em , com as mudanças de curvatura em .
Resposta
Pontos críticos:
,
,
Pontos de inflexão: ,
Esboço / características do gráfico: função par; máximo global em ; zeros em
; cresce em
e decresce em
; concavidade para cima em
e
, concavidade para baixo em
.
Pontos de inflexão:
Esboço / características do gráfico: função par; máximo global em