Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
é uma constante (qualquer número real) e
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A expressão do numerador é
. - O denominador é
. - A variável que tende é
e o ponto de interesse é . - O enunciado exige o uso da regra de L’Hôpital.
Passo 2
Verificamos o tipo de indeterminação ao substituir
:
O numerador vale .
O denominador vale .
Portanto, a forma é , que é uma indeterminação do tipo onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam num entorno de
, o que ocorre aqui para funções polinomiais/potências).
O numerador vale
O denominador vale
Portanto, a forma é
Passo 3
Aplicamos a regra de L’Hôpital: devemos derivar numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Derivada do numerador:
Usamos a regra que diz que a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função, e a derivada de
é
. Também a derivada de
é
. Assim,
logo a derivada do numerador é
Derivada do denominador:
Passo 4
Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual ao limite do quociente das derivadas:
Como
é constante em
, isso é
Como a função
é contínua em
, temos
. Portanto a expressão acima reduz-se a
.
Passo 5
Para reforçar (checagem alternativa — não usando L’Hôpital): podemos usar a fatoração de diferença de potências, que diz
Dividindo por
obtemos
Multiplicando por
,
Ao tomar
, cada termo
tende a
, e há
termos, então o somatório tende a
. Assim o limite é
, confirmando o resultado obtido por L’Hôpital.