Calcule os limites aplicando a regra de L’Hôspital
\lim _{r \rightarrow 1} \frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}, n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{r\to1}\frac{a\bigl(r^{n}-1\bigr)}{r-1},
onde a é uma constante (qualquer número real) e n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do numerador é a\bigl(r^{n}-1\bigr).
  • O denominador é r-1.
  • A variável que tende é r e o ponto de interesse é r=1.
  • O enunciado exige o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação ao substituir r=1:
O numerador vale a\bigl(1^{n}-1\bigr)=a(1-1)=a\cdot 0=0.
O denominador vale 1-1=0.
Portanto, a forma é 0/0, que é uma indeterminação do tipo onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam num entorno de r=1, o que ocorre aqui para funções polinomiais/potências).

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital: devemos derivar numerador e denominador em relação a r.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dr}\bigl[a\bigl(r^{n}-1\bigr)\bigr]=a\cdot\frac{d}{dr}\bigl(r^{n}-1\bigr).
Usamos a regra que diz que a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função, e a derivada de r^{n} é n r^{n-1}. Também a derivada de 1 é 0. Assim,
\frac{d}{dr}\bigl(r^{n}-1\bigr)=n r^{n-1},
logo a derivada do numerador é
a\cdot n r^{n-1}.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dr}(r-1)=1.

Passo 4

Pela regra de L’Hôpital, o limite original é igual ao limite do quociente das derivadas:
\lim_{r\to1}\frac{a\bigl(r^{n}-1\bigr)}{r-1} =\lim_{r\to1}\frac{a n r^{n-1}}{1}.
Como a n é constante em r, isso é
a n \lim_{r\to1} r^{n-1}.
Como a função r^{n-1} é contínua em r=1, temos \lim_{r\to1} r^{n-1}=1^{\,n-1}=1. Portanto a expressão acima reduz-se a a n.

Passo 5

Para reforçar (checagem alternativa — não usando L’Hôpital): podemos usar a fatoração de diferença de potências, que diz
r^{n}-1=(r-1)\bigl(r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+r+1\bigr).
Dividindo por r-1 obtemos
\frac{r^{n}-1}{r-1}=r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+r+1.
Multiplicando por a,
\frac{a\bigl(r^{n}-1\bigr)}{r-1}=a\bigl(r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+r+1\bigr).
Ao tomar r\to1, cada termo r^{k} tende a 1, e há n termos, então o somatório tende a n. Assim o limite é a\cdot n, confirmando o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

a n

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