Calcule os limites
a) lim x 1 x^n-1x-1
b) lim x 1 x^m-1x^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses limites juntos! A questão pede para calcular:
a) lim x 1 x^n-1x-1
b) lim x 1 x^m-1x^n-1
Vamos precisar usar conceitos de limites e um pouco de álgebra para simplificar as expressões. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a) lim x 1 x^n-1x-1
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Quando substituímos x = 1 diretamente, teríamos 1^n - 11 - 1 = 00, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos fatorar o numerador.
Sabemos que x^n - 1 pode ser fatorado como (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + cdots + 1). Isso é útil porque o x - 1 no numerador cancela com o denominador.
Então, temos:
x^n - 1x - 1 = x^n-1 + x^n-2 + cdots + 1
Agora, substituindo x = 1:
1^n-1 + 1^n-2 + cdots + 1 = 1 + 1 + cdots + 1
Quantas vezes o 1 aparece? Exatamente n vezes. Portanto, o limite é n.

Passo 3

Parte b) lim x 1 x^m-1x^n-1
Da mesma forma que na parte a), se substituirmos x = 1, teremos 00, uma indeterminação. Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Sabemos que:
x^m - 1 = (x - 1)(x^m-1 + x^m-2 + cdots + 1)
x^n - 1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + cdots + 1)
Agora, substituindo na expressão original:
x^m-1x^n-1 = (x - 1)(x^m-1 + cdots + 1)(x - 1)(x^n-1 + cdots + 1) = x^m-1 + cdots + 1x^n-1 + cdots + 1
Agora, substituindo x = 1:
m times 1^m-1n times 1^n-1 = mn

Resposta

a) lim x 1 x^n-1x-1 = n
b) lim x 1 x^m-1x^n-1 = mn

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