Calcule os limites.
b) lim x 0 1-raiz2+xx

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0 1-raiz2+xx. O conteúdo envolvido é a forma “constante não nula sobre zero”, que geralmente gera limite infinito. Para resolver vamos primeiro fazer substituição direta para classificar a forma e depois racionalizar para determinar o sinal.

Passo 2

Ao tentar substituição direta, quando xto0 temos raiz2+xtoraiz2, logo o numerador tende a 1-raiz2, que é uma constante diferente de zero, e o denominador tende a zero. Isso configura uma forma “não zero sobre zero”, indicando que o limite será infinito. Como 1-raiz2<0, precisamos analisar o sinal da expressão.

Passo 3

Para ver o sinal com clareza, fazemos a racionalização multiplicando numerador e denominador por 1+raiz2+x:
[
\frac{1-\sqrt{2+x}}{x} ;\cdot; \frac{1+\sqrt{2+x}}{1+\sqrt{2+x}}
= \frac{1-(2+x)}{x,(1+\sqrt{2+x})}
= \frac{-1 - x}{x,(1+\sqrt{2+x})}
= -\frac{1+x}{x,(1+\sqrt{2+x})}
]

Passo 4

Para x>0 próximo de zero, tanto x quanto 1+raiz2+x são positivos, logo a fração tende a -infty. Para x<0 próximo de zero, o denominador é negativo e o numerador continua negativo (pois 1+x>0 perto de zero), resultando em +infty. Assim o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe. Pela direita é -infty e pela esquerda é +infty.

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