Calcule os limites.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
. O conteúdo envolvido é a forma “constante não nula sobre zero”, que geralmente gera limite infinito. Para resolver vamos primeiro fazer substituição direta para classificar a forma e depois racionalizar para determinar o sinal.
Passo 2
Ao tentar substituição direta, quando
temos
, logo o numerador tende a
, que é uma constante diferente de zero, e o denominador tende a zero. Isso configura uma forma “não zero sobre zero”, indicando que o limite será infinito. Como
, precisamos analisar o sinal da expressão.
Passo 3
Para ver o sinal com clareza, fazemos a racionalização multiplicando numerador e denominador por
:
[
\frac{1-\sqrt{2+x}}{x} ;\cdot; \frac{1+\sqrt{2+x}}{1+\sqrt{2+x}}
= \frac{1-(2+x)}{x,(1+\sqrt{2+x})}
= \frac{-1 - x}{x,(1+\sqrt{2+x})}
= -\frac{1+x}{x,(1+\sqrt{2+x})}
]
[
\frac{1-\sqrt{2+x}}{x} ;\cdot; \frac{1+\sqrt{2+x}}{1+\sqrt{2+x}}
= \frac{1-(2+x)}{x,(1+\sqrt{2+x})}
= \frac{-1 - x}{x,(1+\sqrt{2+x})}
= -\frac{1+x}{x,(1+\sqrt{2+x})}
]
Passo 4
Para
próximo de zero, tanto
quanto
são positivos, logo a fração tende a
. Para
próximo de zero, o denominador é negativo e o numerador continua negativo (pois
perto de zero), resultando em
. Assim o limite bilateral não existe.
Resposta
O limite não existe. Pela direita é
e pela esquerda é
.