Seja
a região limitada pelas curvas
e
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Calcule a área da região
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Calcule a área da região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região $ R $ que está limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = \sqrt{x} $. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde essas duas curvas se encontram e depois integrar para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, quais valores de $ x $ fazem as duas funções terem o mesmo $ y $. Então, igualamos as duas expressões:
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, trazemos tudo para um lado:
Isso nos dá soluções:
Então, as curvas se encontram nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos visualizar qual delas está por cima nesse intervalo para definir a função de cima e a de baixo. Vamos escolher um valor de $ x $ entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0,5 $:
Vemos que $ \sqrt{x} $ está acima de $ x^{2} $ nesse intervalo. Portanto, a área entre as curvas é a integral da função de cima menos a função de baixo, de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular a área:
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, resolvemos cada parte separadamente:
Então, substituindo na integral:
Calculando em $ x = 1 $:
E em $ x = 0 $:
Então, a área é:
Resposta
A área da região $ R $ é $ \frac{1}{3} $ unidades de área.