Seja R a região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x^1 / 2.
Calcule a área da região R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região $ R $ que está limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = \sqrt{x} $. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde essas duas curvas se encontram e depois integrar para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam, ou seja, quais valores de $ x $ fazem as duas funções terem o mesmo $ y $. Então, igualamos as duas expressões:
x
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
y
Agora, trazemos tudo para um lado:
x^2 = raizx
Isso nos dá soluções:
(x^2)^2 = (raizx)^2 implies x^4 = x
Então, as curvas se encontram nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos visualizar qual delas está por cima nesse intervalo para definir a função de cima e a de baixo. Vamos escolher um valor de $ x $ entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0,5 $:
x
Vemos que $ \sqrt{x} $ está acima de $ x^{2} $ nesse intervalo. Portanto, a área entre as curvas é a integral da função de cima menos a função de baixo, de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular a área:
A = integral0^1 ( raizx - x^2 ) dx
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, resolvemos cada parte separadamente:
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = 23x^3/2
integral x^2 , dx = 13x^3
Então, substituindo na integral:
A = [ 23x^3/2 - 13x^3 ]0^1
Calculando em $ x = 1 $:
x = 1
E em $ x = 0 $:
23(1)^3/2 - 13(1)^3 = 23 - 13 = 13
Então, a área é:
x = 0

Resposta

A área da região $ R $ é $ \frac{1}{3} $ unidades de área.

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