Calcule os limites
b) lim x 0 7^x-3^xx

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto07^x-3^xx,
que envolve funções exponenciais. Para resolver, vamos usar a relação entre exponencial e logaritmo e o desenvolvimento em série para pequenas perturbações.

Passo 2

Recordando que qualquer exponencial pode ser escrita como
a^x = e^xln a,
no nosso caso temos
7^x = e^xln7,
3^x = e^xln3
Isso nos permite aplicar a expansão da função exponencial.

Passo 3

Para pequenas variações de x (isto é, xto0), usamos o desenvolvimento de Taylor de e^u em torno de u=0:
e^u = 1 + u + o(u)
Substituindo u = xln a obtemos
a^x = e^xln a = 1 + xln a + o(x)

Passo 4

Aplicando essa aproximação em cada termo do numerador temos:
7^x = 1 + xln7 + o(x),
3^x = 1 + xln3 + o(x)
Logo,
7^x - 3^x = (1 + xln7 + o(x)) - (1 + xln3 + o(x)) = x(ln7 - ln3) + o(x)
Dividindo por x e tomando o limite xto0:
limxto07^x - 3^xx = limxto0x(ln7 - ln3) + o(x)x = ln7 - ln3

Resposta

ln7 - ln3

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