determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n 3{n-2}}}{2{n}} $

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty (-1)^n3^n-22^n. O conteúdo é testes de convergência de séries (alternadas e geométricas) e vamos usar o teste da razão (ou o reconhecimento de série geométrica) para concluir.

Passo 2

Note que 3^n-2 é sempre ímpar para n>=1. Logo
(-1)^n3^n-2 = l((-1)^3^n-2r)^n = (-1)^n,
podemos reescrever a série como
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n3{n-2}}}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)n}{2n}.
$$

Passo 3

Agora, note que os termos em módulo são an=1/2^n. Aplicando o teste da razão para |an|:
L = limntoinfty an+1an = limntoinfty 1/2^n+11/2^n = 12 <1

Passo 4

Como L<1, a série de termos positivos sum an converge, o que implica que a série original converge absolutamente e portanto converge.

Passo 5

Portanto a série converge absolutamente pelo teste da razão (ou por ser uma série geométrica de razão -1/2 com |-1/2|<1).

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge). Teste usado: teste da razão (ou reconhecimento de série geométrica com razão -1/2).

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