determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n 3{n-2}}}{2{n}} $
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n 3{n-2}}}{2{n}} $
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
. O conteúdo é testes de convergência de séries (alternadas e geométricas) e vamos usar o teste da razão (ou o reconhecimento de série geométrica) para concluir.
Passo 2
Note que
é sempre ímpar para
. Logo
podemos reescrever a série como
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1){n3{n-2}}}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)n}{2n}.
$$
Passo 3
Agora, note que os termos em módulo são
. Aplicando o teste da razão para
Passo 4
Como
, a série de termos positivos
converge, o que implica que a série original converge absolutamente e portanto converge.
Passo 5
Portanto a série converge absolutamente pelo teste da razão (ou por ser uma série geométrica de razão
com
).
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge). Teste usado: teste da razão (ou reconhecimento de série geométrica com razão
).