determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{2^{n}} $
Passo 1
A série em estudo é . O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas e vamos precisar verificar convergência absoluta ou usar um teste de comparação.
Passo 2
Para testar convergência absoluta, examinamos a série das magnitudes dos termos: . Como |cos n|<= 1 para todo n, temos
|cos n2^n|<= 12^n
A série sumn=1^infty12^n é uma série geométrica de razão 12<1, logo converge.
Passo 3
Pelo teste de comparação, visto que 0<=|cos n2^n|<=12^n e sum12^n converge, concluímos que sum|cos n2^n| converge. Portanto a série original converge absolutamente, implicando sua convergência.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge. O teste usado foi o teste de comparação com a série geométrica (convergência absoluta).