Calcule os limites, caso exista:
lim x 1 x^3-1x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para calcular:
lim x 1 x^3-1x^2-1
Aqui, estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 1 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
x = 1
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador. Vamos começar com o numerador $ x^{3} - 1 $. Isso é uma diferença de cubos e pode ser fatorado da seguinte forma:
x^3 - 1
Agora, o denominador $ x^{2} - 1 $ é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^3-1x^2-1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)(x + 1)
Agora, podemos simplificar cancelando o termo comum $ (x - 1) $ no numerador e no denominador:
(x - 1)

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo $ x = 1 $:
x = 1

Resposta

O limite é $ \frac{3}{2} $.

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