Calcule os limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
a) limx o + infty xx + 1;
b) limx o + infty x^2x + 1;
c) limx o + infty x + 1x^2;
d) limx o - infty 1 + x^21 - x^2;
e) limx o + infty x^2 - x + 12x^2 + 1;
f) limx o + infty x^4 - 3x^2 + 1x^3 + 1;
g) limx o - infty x^2 + 2x + 1x^3 - 3x^2 + 1;
h) limx o + infty raizx^2 + 12x - 1;
i) limx o + infty (raizx + 1 - raizx);
j) limx o + infty xraizx^2 + 1;
l) limx o - infty 2x + 3raizx^2 - 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular diversos limites quando x to +infty ou x to -infty de funções racionais e radicais. Vamos usar noções de grau de polinômios, divisão por potências de x, razão de coeficientes líderes e manipulações algébricas (fatoração e racionalização).

Passo 2

Para uma função racional P(x)Q(x): se deg P > deg Q, então limxtopminftyP(x)Q(x)=pminfty, com o sinal definido pelo sinal dos coeficientes líderes e do infinito considerado.
Para uma função racional P(x)Q(x): se deg P < deg Q, então limxtopminftyP(x)Q(x)=0.
Para uma função racional P(x)Q(x): se deg P = deg Q, então limxtopminftyP(x)Q(x)=coeficiente líder de Pcoeficiente líder de Qíí

Passo 3

Aplicando (2), (3) e (4) em (a) xx+1: graus iguais, coeficientes líderes 1 e 1, então lim=1; (b) x^2x+1: grau do numerador maior, limite +infty; © x+1x^2: grau do numerador menor, limite 0.
Continuando para as racionais: (d) 1+x^21-x^2: graus iguais, coeficientes líderes +1 no numerador e −1 no denominador, logo lim=-1; (e) x^2-x+12x^2+1: graus iguais, coeficientes líderes 1 e 2, logo lim=12; (f) x^4-3x^2+1x^3+1: grau do numerador maior, limite +\infty; (g) x^2+2x+1x^3-3x^2+1: grau do numerador menor, limite 0.

Passo 4

Para (h) raizx^2+12x-1 quando xto+infty: fatoramos x em raizx^2+1=xraiz1+1/x^2 e em 2x-1=x(2-1/x), resultando em (\frac{\sqrt{1+1/x^2}}{2-1/x}\to\frac1{2}.

Passo 5

Para (i) raizx+1-raizx quando xto+infty: usamos conjugado raizx+1-raizx=(raizx+1-raizx)(raizx+1+raizx)raizx+1+raizx=1raizx+1+raizxto0.
Para (j) xraizx^2+1 quando xto+infty: escrevemos xraizx^2+1=1raiz1+1/x^2to1.
Para (l) 2x+3raizx^2-1 quando xto-infty: note que raizx^2-1=|x|raiz1-1/x^2=-xraiz1-1/x^2, logo 2x+3raizx^2-1=2+3/x-raiz1-1/x^2to-2.

Resposta

(a) 1; (b) +infty; © 0; (d) -1; (e) 12; (f) +infty; (g) 0; (h) 12; (i) 0; (j) 1; (l) -2.

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