Calcule os limites, caso existam. Caso não existam, justifique.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
;
g)
;
h)
;
i)
;
j)
;
l)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
Passo 1
O enunciado pede para calcular diversos limites quando
ou
de funções racionais e radicais. Vamos usar noções de grau de polinômios, divisão por potências de
, razão de coeficientes líderes e manipulações algébricas (fatoração e racionalização).
Passo 2
Para uma função racional
: se
, então
, com o sinal definido pelo sinal dos coeficientes líderes e do infinito considerado.
Para uma função racional : se
, então
.
Para uma função racional : se
, então
Para uma função racional
Para uma função racional
Passo 3
Aplicando (2), (3) e (4) em (a)
: graus iguais, coeficientes líderes 1 e 1, então
; (b)
: grau do numerador maior, limite
; ©
: grau do numerador menor, limite 0.
Continuando para as racionais: (d) : graus iguais, coeficientes líderes +1 no numerador e −1 no denominador, logo
; (e)
: graus iguais, coeficientes líderes 1 e 2, logo
; (f)
: grau do numerador maior, limite +\infty; (g)
: grau do numerador menor, limite 0.
Continuando para as racionais: (d)
Passo 4
Para (h)
quando
: fatoramos
em
e em
, resultando em (\frac{\sqrt{1+1/x^2}}{2-1/x}\to\frac1{2}.
Passo 5
Para (i)
quando
: usamos conjugado
.
Para (j) quando
: escrevemos
.
Para (l) quando
: note que
, logo
.
Para (j)
Para (l)
Resposta
(a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
; (f)
; (g)
; (h)
; (i)
; (j)
; (l)
.