Determine, caso exista, o limite de cada função abaixo, justificando quando não existir.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
A questão pede para calcular cinco limites de funções à medida que a variável x se aproxima de certos valores. O conteúdo principal é teoria de limites: uso da continuidade de funções polinomiais e racionais, técnicas de fatoração, análise de limites laterais para funções com valor absoluto e para funções que explodem, e racionalização para funções com raiz. Vamos precisar aplicar propriedades básicas de limites e, quando necessário, técnicas específicas (fatorar, analisar limite lateral, racionalizar).
Passo 2
Para o item a) temos a função linear 3x+1. Funções polinomiais são contínuas em todo lugar, então basta substituir x=2 diretamente:
Passo 3
Para o item b) aparece a forma 0/0 em x→−1. Identificamos x^3+1 como soma de cubos e fatoramos:
Passo 4
No item c) a função é |x|/x. Aqui não temos continuidade em x=0, então analisamos os limites laterais. Para x>0, |x|=x e |x|/x=1; para x<0, |x|=−x e |x|/x=−1. Como os dois lados não coincidem, o limite não existe.
Passo 5
No item d) temos 1/(x−1). À medida que x→1⁺, o denominador é positivo e pequeno, logo a função cresce para +∞; quando x→1⁻, o denominador é negativo e pequeno, então a função vai a −∞. Como não converge a um valor finito único, o limite não existe.
Passo 6
No item e) vemos uma 0/0 em x→3 com raiz no numerador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada √x+√3 para racionalizar, simplificamos x−3, e então substituímos x=3 no resultado obtido.
Resposta
a) 7; b) 3; c) não existe; d) não existe; e)
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