Determine o comprimento de arco da curva r(t)=(2 t, t^2, t^3 / 3) para 0 <= t <= 1 e sua curvatura no ponto t=1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva r(t)=(2t, t^2, t^3/3) em [0,1] e sua curvatura em t=1/2. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco S=integrala^b |r'(t)|,dt e a fórmula da curvatura kappa(t)=dfrac|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3.

Passo 2

Calcular r'(t), sua magnitude e integrar para obter o comprimento de arco. Temos
r'(t)=(2, 2t, t^2)
Então
|r'(t)|=raiz4+4t^2+t^4=raiz(t^2+2)^2=t^2+2
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[S=\int_0^1 (t2+2),dt=\left[\frac{t3}{3}+2t\right]_0^1=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}."]

Passo 3

Calcular r''(t), o produto vetorial r'(t)times r''(t) e sua magnitude. Temos
r''(t)=(0,2,2t)
O produto vetorial é
$$r’(t)\times r’’(t)=(2t^2,
-4t,4) r'(t)times r''(t)=(2t^2, -4t,4)|r’(t)\times r’’(t)|=\sqrt{4t4+16t2+16}=2(t^2+2).$$
Assim a curvatura geral é
|r'(t)times r''(t)|=raiz4t^4+16t^2+16=2(t^2+2)

Passo 4

Avaliar a curvatura em t=1/2. Calculamos
t^2+2=14+2=94,
portanto
kappal(tfrac12r)=2(9/4)^2=281/16=3281

Resposta

Comprimento de arco = 7/3. Curvatura em t=1/2 = 32/81.

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