Determine o comprimento de arco da curva
para
e sua curvatura no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva
em
e sua curvatura em
. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco
e a fórmula da curvatura
.
Passo 2
Calcular
, sua magnitude e integrar para obter o comprimento de arco. Temos
Então
Logo
[S=\int_0^1 (t2+2),dt=\left[\frac{t3}{3}+2t\right]_0^1=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}."]
Passo 3
Calcular
, o produto vetorial
e sua magnitude. Temos
O produto vetorial é
$$r’(t)\times r’’(t)=(2t^2,
-4t,4)
|r’(t)\times r’’(t)|=\sqrt{4t4+16t2+16}=2(t^2+2).$$
Assim a curvatura geral é
Passo 4
Avaliar a curvatura em
. Calculamos
portanto
Resposta
Comprimento de arco =
. Curvatura em
=
.