Calcule os limites, caso existam. (lembre-se das diferenças entre x a^+, x a^- e x a )
lim x 0 ln (x)+e^3 x

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: A questão pede para calcular os limites de ln(x) + e^3x quando x se aproxima de 0. Isso envolve entender limites laterais ( xto0^+ e xto0^-), o domínio do ln(x) e a continuidade da exponencial.

Passo 2

Análise do domínio e limite pela esquerda: A função ln(x) só está definida para x>0. Logo, para xto0^- o termo ln(x) não existe e nem faz sentido calcular ln(x)+e^3x. Portanto limxto0^- [ln(x)+e^3x] não existe.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita: Para xto0^+, usamos:
limxto0^+ln(x) = -infty
e pela continuidade de e^3x:
limxto0^+e^3x = e^0 = 1
Como a soma de um termo que diverge para -infty com um termo que tende a 1 continua indo para -infty, concluímos que limxto0^+[ln(x)+e^3x] = -infty.

Passo 4

Limite bilateral em 0: Para existir, os limites laterais teriam de existir e ser iguais. Aqui o limite pela esquerda não existe e pela direita é -infty, então limxto0[ln(x)+e^3x] também não existe.

Resposta

limxto0^+[ln(x)+e^3x] = -infty; limxto0^-[ln(x)+e^3x] não existe; limxto0[ln(x)+e^3x] não existe.

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