Nos problemas a seguir, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
y^prime prime+y=cos x-sen 2 x, y(pi2)=0, y^prime(pi2)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y = cos x - sen 2x
com as condições iniciais
yl(tfracpi2r)=0, y'l(tfracpi2r)=2
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos obter a solução geral como
y(x)=yh(x)+yp(x),
onde yh é a solução da homogênea e yp uma solução particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+y=0
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo
yh(x)=Acos x + Bsen x,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Para forçar o termo cos x no lado direito (que ressoa com a homogênea), escolhemos o “ansatz”
yp1(x)=C,xcos x + D,xsen x
Calcula-se
yp1''+yp1=2Dcos x-2Csen x
e iguala-se a cos x. Assim
2D=1, -2C=0Longrightarrow C=0,;D=tfrac12,
o que dá
yp1(x)=tfracx2sen x

Passo 4

Para o termo (não ressonante), usamos
Calcula-se
e impõe-se , . Logo
resultando em

Passo 5

A solução geral é

Passo 6

Derivando, temos
y'(x)=-Asen x + Bcos x + tfrac12sen x + tfracx2cos x + tfrac23cos2x
Em x=tfracpi2 vale cos(tfracpi2)=0, sen(tfracpi2)=1, cos(pi)=-1 e tfrac x2cos x|x=pi/2=0.
  1. De y(tfracpi2)=0 vem
0 = Acdot0 + Bcdot1 + tfracpi/22cdot1 + 0 ;Longrightarrow;B=-tfracpi4
  1. De y'(tfracpi2)=2 vem
2 = -Acdot1 + 0 + tfrac12cdot1 + 0 + tfrac23(-1) = -A + tfrac12 - tfrac23 = -A - tfrac16 ;Longrightarrow;A=-tfrac136

Resposta

Exercícios relacionados