Calcule os limites, caso existam:
lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0)x^2-y^2x^2+y^2
O conteúdo aqui é análise de limite em R^2 e a ideia é mostrar que esse limite depende da direção de aproximação.

Passo 2

Para ver essa dependência, mudamos para coordenadas polares, onde
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0
Substituindo na função:
x^2-y^2x^2+y^2 =r^2(cos^2theta-sin^2theta)r^2(cos^2theta+sin^2theta) =cos2theta

Passo 3

Ao aproximar (x,y)to(0,0) temos rto0, mas a expressão fica
cos2theta, que depende de theta, ou seja, da direção de chegada ao ponto.

Passo 4

Por exemplo, para theta=0 (reta y=0)
cos2cdot0 = 1,
enquanto para theta=tfracpi2 (reta x=0)
cos2cdottfracpi2 = cospi = -1

Passo 5

Como os valores obtidos variam conforme theta, não existe um único valor para o limite.

Resposta

O limite não existe.

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