Calcule os limites, caso existam:
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). Este é um problema de limite em R^2. Para resolver, podemos usar coordenadas polares para mostrar que o valor não depende do caminho, e também um argumento varepsilon de<a para comprovar existência e valor do limite.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>=0 e theta arbitrário. Então
x^2+y^2=r^2cos^2theta + r^2sin^2theta =r^2(cos^2theta+sin^2theta) =r^2
Quando (x,y)to(0,0) corresponde a rto0, e portanto r^2to0. Como o resultado não depende de theta, o limite existe e vale 0.

Passo 3

Para ver de forma formal pelo critério varepsilon de<a, observamos que
l|x^2+y^2-0r|=x^2+y^2=l(raizx^2+y^2r)^2
Dado varepsilon>0, basta escolher
de<a=raizvarepsilon
Então, se raizx^2+y^2<de<a temos
x^2+y^2<de<a^2=varepsilon,
o que demonstra que lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)=0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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