Calcule os limites, caso existam:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - A variável
tende para (ou seja, valores muito negativos de ).
Passo 2
O primeiro passo é entender o comportamento da parte
para
muito negativo. Uma propriedade importante é:
Quando
temos
, então
. Logo
é aproximadamente
quando
é muito grande, isto é, para
muito negativo. Mas atenção: não basta dizer “aproximadamente”, precisamos fazer uma manipulação algébrica que nos permita calcular o limite com rigor.
Uma técnica clássica e útil nesses casos é racionalizar o par
usando o conjugado
. Vou usar essa técnica porque transforma a expressão em uma forma onde dá para ver claramente o limite.
Passo 3
Racionalizando
multiplicando e dividindo pelo conjugado
, obtemos:
Portanto a expressão original fica
Passo 4
Agora vamos estudar o comportamento do termo
quando
.
Para
negativo,
é positivo e, como já observado,
fica próximo de
. Mais precisamente, podemos escrever
Como
temos
, então
Assim
Quando
temos
, então
. Portanto o fator
tende para
, enquanto
tende para
(porque
é muito negativo). Assim o produto
Logo o inverso tende a zero:
Passo 5
Voltando à expressão completa, como
, temos
Portanto o limite existe e vale
.