Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+9}+x+9\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\to -\infty}\big(\sqrt{x^{2}+9}+x+9\big).
Informações dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \sqrt{x^{2}+9}+x+9.
  • A variável x tende para -\infty (ou seja, valores muito negativos de x).

Passo 2

O primeiro passo é entender o comportamento da parte \sqrt{x^{2}+9} para x muito negativo. Uma propriedade importante é:
\sqrt{x^{2}} = |x|.
Quando x\to -\infty temos x<0, então |x|=-x. Logo \sqrt{x^{2}+9} é aproximadamente -x quando |x| é muito grande, isto é, para x muito negativo. Mas atenção: não basta dizer “aproximadamente”, precisamos fazer uma manipulação algébrica que nos permita calcular o limite com rigor.
Uma técnica clássica e útil nesses casos é racionalizar o par \sqrt{x^{2}+9}+x usando o conjugado \sqrt{x^{2}+9}-x. Vou usar essa técnica porque transforma a expressão em uma forma onde dá para ver claramente o limite.

Passo 3

Racionalizando \sqrt{x^{2}+9}+x multiplicando e dividindo pelo conjugado \sqrt{x^{2}+9}-x, obtemos:
\sqrt{x^{2}+9}+x = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+9}+x\big)\big(\sqrt{x^{2}+9}-x\big)}{\sqrt{x^{2}+9}-x} = \frac{x^{2}+9 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+9}-x} = \frac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x}.
Portanto a expressão original fica
\sqrt{x^{2}+9}+x+9 = \frac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x} + 9.

Passo 4

Agora vamos estudar o comportamento do termo \dfrac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x} quando x\to -\infty.
Para x negativo, \sqrt{x^{2}+9} é positivo e, como já observado, \sqrt{x^{2}+9} fica próximo de -x. Mais precisamente, podemos escrever
\sqrt{x^{2}+9} = |x|\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}.
Como x\to -\infty temos |x|=-x, então
\sqrt{x^{2}+9} = -x\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}.
Assim
\sqrt{x^{2}+9}-x = -x\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}}-x = -x\big(\sqrt{1+\tfrac{9}{x^{2}}}+1\big).
Quando x\to -\infty temos \tfrac{9}{x^{2}}\to 0, então \sqrt{1+\tfrac{9}{x^{2}}}\to 1. Portanto o fator \sqrt{1+\tfrac{9}{x^{2}}}+1 tende para 2, enquanto -x tende para +\infty (porque x é muito negativo). Assim o produto
\sqrt{x^{2}+9}-x = -x\big(\sqrt{1+\tfrac{9}{x^{2}}}+1\big) \to +\infty.
Logo o inverso tende a zero:
\frac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x} \to 0.

Passo 5

Voltando à expressão completa, como \dfrac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x}\to 0, temos
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x} + 9\right) = 0 + 9 = 9.
Portanto o limite existe e vale 9.

Resposta

9

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