Verfique se as funções dadas são contínuas no(s) ponto(s) x_{0} dado(s). f(x)=\left\{\begin{aligned}(x+2)^{2}-8, & \text { se } x<1 \\\\ 3 x+1, & \text { se } 1 \leq x<3 \quad \text { em } x_{0}=1 \text { e } x_{0}=3 \\\\ -(x-5)^{2}+9, & \text { se } x \geq 3\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função é contínua nos pontos x_{0}=1\) e \(x_{0}=3\). A função dada é por partes:
\[f(x)=\begin{cases} (x+2)^{2}-8, & \text{se } x<1,\\[4pt] 3x+1, & \text{se } 1\le x<3,\\[4pt] -(x-5)^{2}+9, & \text{se } x\ge 3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
As três expressões são polinômios (ou funções polinomiais) em cada intervalo.
Os pontos a verificar são as fronteiras entre as peças: x=1\] (entre primeira e segunda peça) e \(x=3 (entre segunda e terceira peça).
O que precisamos checar em cada ponto:
calcular \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x) (limite pela esquerda),
calcular \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x) (limite pela direita),
calcular f(x_{0}) (valor da função no ponto, se definido),
verificar se \lim_{x\to x_{0}} f(x) existe e se \lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}).]
Passo 2
Relembrando a definição prática de continuidade em um ponto x_{0}:
A função f é contínua em x_{0} se, e somente se,
Ou seja, os dois limites laterais existem e são iguais entre si, e esse valor coincide com o valor da função no ponto. Se algum dos limites laterais for diferente ou se o valor da função for diferente do limite, a função é descontínua em x_{0}.
Observação útil para economizar trabalho: polinômios são contínuos em toda parte, então dentro de cada intervalo aberto não há problema. Só precisamos checar os pontos onde a definição por partes muda: x=1 e x=3.
Passo 3
Vamos começar por x_{0}=1. Identificar qual peça dá a \lim_{x\to1^{-}} f(x), \lim_{x\to1^{+}} f(x) e f(1):
Para x<1 (esquerda) usamos f(x)=(x+2)^{2}-8.
Para 1\le x<3 (direita e valor no ponto) usamos f(x)=3x+1.
Logo:
Comparando: \lim_{x\to1^{-}} f(x)=1 e \lim_{x\to1^{+}} f(x)=4. Como os limites laterais são diferentes, \lim_{x\to1} f(x) não existe e portanto f não é contínua em x=1. Observação adicional: a função é contínua pela direita em 1 (porque \lim_{x\to1^{+}} f(x)=f(1)=4), mas não é contínua pela esquerda.
Passo 5
Agora x_{0}=3. Identificar qual peça corresponde a cada lado e ao valor:
Para 1\le x<3 (esquerda) usamos f(x)=3x+1.
Para x\ge 3 (direita e valor no ponto) usamos f(x)=-(x-5)^{2}+9.
Logo:
Comparando: \lim_{x\to3^{-}} f(x)=10 e \lim_{x\to3^{+}} f(x)=5. Como os limites laterais são diferentes, \lim_{x\to3} f(x) não existe e portanto f não é contínua em x=3. Observação adicional: a função é contínua pela direita em 3 (porque \lim_{x\to3^{+}} f(x)=f(3)=5), mas não é contínua pela esquerda.
Resposta
x_{0}=1:f não é contínua em 1. \lim_{x\to1^{-}} f(x)=1,\\ \lim_{x\to1^{+}} f(x)=4,\\ f(1)=4.\n x_{0}=3:f não é contínua em 3. \lim_{x\to3^{-}} f(x)=10,\\ \lim_{x\to3^{+}} f(x)=5,\\ f(3)=5.