Verfique se as funções dadas são contínuas no(s) ponto(s) x_{0}\) dado(s). \(f(x)= \begin{cases}-|x+4|+6, & \text { se } x<-4 \\\ \sqrt{25-x^{2}}+1, & \text { se }-4 \leq x<4 \quad \text { em } x_{0}=-4 \text { e } x_{0}=4 \\\\ -|x-4|+6, & \text { se } x \geq 4\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)= \begin{cases} -|x+4|+6, & \text{se } x<-4,\\[4pt] \sqrt{25-x^{2}}+1, & \text{se } -4\le x<4,\\[4pt] -|x-4|+6, & \text{se } x\ge 4, \end{cases}
e pede para verificar continuidade nos pontos \,x_{0}=-4 e \,x_{0}=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Existem três ramos (três expressões) da função, com mudanças de ramo exatamente em x=-4 e x=4.
  • Nos pontos a testar, devemos comparar limites laterais (à esquerda e à direita) com o valor da função naquele ponto (se o valor estiver definido ali).
  • A peça do meio usa \sqrt{25-x^{2}}+1; note que essa raiz quadrada está bem definida para |x|\le 5, e é contínua onde definida.]

Passo 2

Lembrete (definição e estratégia): para a função [f) ser contínua em um ponto x_{0} é necessário e suficiente que as três coisas ocorram simultaneamente:
  1. \displaystyle \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x) exista (limite pela esquerda);
  2. \displaystyle \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x) exista (limite pela direita);
  3. Esses dois limites sejam iguais e iguais ao valor f(x_{0}).
Explicação das ferramentas que vamos usar:
  • Para calcular \lim_{x\to a^{-}} usamos a expressão da função válida para valores x<a.
  • Para calcular \lim_{x\to a^{+}} usamos a expressão válida para x>a.
  • Propriedade do valor absoluto: |u|=\begin{cases}u,&u\ge 0,\\\ -u,&u<0.\end{cases}\] Assim, perto de \(x=-4 a expressão x+4 é negativa para x<-4, e perto de x=4 a expressão x-4 é positiva para x>4. Isso permite simplificar -|x+4|+6 e -|x-4|+6 nas faixas apropriadas.
  • A função x\mapsto \sqrt{25-x^{2}}+1 é contínua em qualquer ponto onde a raiz está definida; portanto para limites laterais dentro do intervalo [-5,5] basta avaliar normalmente.
Agora aplicamos isso em cada ponto pedido.

Passo 3

Análise em x_{0}=-4.
  1. Limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to -4^{-}} f(x). Para x<-4 a definição é f(x)=-|x+4|+6. Aqui, se x<-4 então x+4<0, logo |x+4|=-(x+4). Substituindo:
f(x)=-\bigl(-(x+4)\bigr)+6 = (x+4)+6 = x+10.
Portanto o limite pela esquerda é
\lim_{x\to -4^{-}} f(x)=\lim_{x\to -4^{-}} (x+10) = -4+10 = 6.
  1. Limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to -4^{+}} f(x). Para x>-4 (mas ainda na vizinhança de -4) usamos a peça do meio f(x)=\sqrt{25-x^{2}}+1. Como essa função é contínua onde definida, basta avaliar em x=-4:
\lim_{x\to -4^{+}} f(x)=\sqrt{25-(-4)^{2}}+1=\sqrt{25-16}+1=\sqrt{9}+1=3+1=4.
  1. Valor da função em x=-4. Como o ramo do meio está definido para -4\le x<4, o valor é
f(-4)=\sqrt{25-(-4)^{2}}+1=4.
Comparação: limite pela esquerda é 6, limite pela direita é 4, e f(-4)=4. Como os limites laterais não coincidem ( 6\ne4), a condição de continuidade falha.

Passo 4

Interpretação técnica para x=-4: os dois limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes; isso caracteriza uma descontinuidade do tipo “salto” (jump) em x=-4. Não adianta que o valor da função coincida com o limite pela direita; é preciso que ambos os lados coincidam com o valor.

Passo 5

Análise em x_{0}=4.
  1. Limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 4^{-}} f(x). Para x<4 na vizinhança usamos o ramo do meio f(x)=\sqrt{25-x^{2}}+1. Avaliando em x=4 (pela continuidade do radical):
\lim_{x\to 4^{-}} f(x)=\sqrt{25-4^{2}}+1=\sqrt{25-16}+1=\sqrt{9}+1=3+1=4.
  1. Limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 4^{+}} f(x). Para x>4 a definição é f(x)=-|x-4|+6. Se x>4 então x-4>0, logo |x-4|=x-4. Substituindo:
f(x)=- (x-4) +6 = -x+4+6 = -x+10.
Assim
\lim_{x\to 4^{+}} f(x)=\lim_{x\to 4^{+}} (-x+10) = -4+10 = 6.
  1. Valor da função em x=4. Como o ramo direito é válido em x\ge 4, temos
f(4) = -|4-4|+6 = -0 +6 = 6.
Comparação: limite pela esquerda é 4, limite pela direita é 6, e f(4)=6. Como os limites laterais não coincidem ( 4\ne6), a condição de continuidade não é satisfeita.

Passo 6

Interpretação técnica para x=4: novamente os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes — é uma descontinuidade de salto (jump) em x=4. O valor da função em x=4 coincide com o limite pela direita, mas isso não basta.

Resposta

A função não é contínua em x_{0}=-4.
A função não é contínua em x_{0}=4.

Exercícios relacionados