e pede para verificar continuidade nos pontos \,x_{0}=-4 e \,x_{0}=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Existem três ramos (três expressões) da função, com mudanças de ramo exatamente em x=-4 e x=4.
Nos pontos a testar, devemos comparar limites laterais (à esquerda e à direita) com o valor da função naquele ponto (se o valor estiver definido ali).
A peça do meio usa \sqrt{25-x^{2}}+1; note que essa raiz quadrada está bem definida para |x|\le 5, e é contínua onde definida.]
Passo 2
Lembrete (definição e estratégia): para a função [f) ser contínua em um ponto x_{0} é necessário e suficiente que as três coisas ocorram simultaneamente:
\displaystyle \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x) exista (limite pela esquerda);
\displaystyle \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x) exista (limite pela direita);
Esses dois limites sejam iguais e iguais ao valor f(x_{0}).
Explicação das ferramentas que vamos usar:
Para calcular \lim_{x\to a^{-}} usamos a expressão da função válida para valores x<a.
Para calcular \lim_{x\to a^{+}} usamos a expressão válida para x>a.
Propriedade do valor absoluto: |u|=\begin{cases}u,&u\ge 0,\\\ -u,&u<0.\end{cases}\] Assim, perto de \(x=-4 a expressão x+4 é negativa para x<-4, e perto de x=4 a expressão x-4 é positiva para x>4. Isso permite simplificar -|x+4|+6 e -|x-4|+6 nas faixas apropriadas.
A função x\mapsto \sqrt{25-x^{2}}+1 é contínua em qualquer ponto onde a raiz está definida; portanto para limites laterais dentro do intervalo [-5,5] basta avaliar normalmente.
Agora aplicamos isso em cada ponto pedido.
Passo 3
Análise em x_{0}=-4.
Limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to -4^{-}} f(x). Para x<-4 a definição é f(x)=-|x+4|+6. Aqui, se x<-4 então x+4<0, logo |x+4|=-(x+4). Substituindo:
Limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to -4^{+}} f(x). Para x>-4 (mas ainda na vizinhança de -4) usamos a peça do meio f(x)=\sqrt{25-x^{2}}+1. Como essa função é contínua onde definida, basta avaliar em x=-4:
Valor da função em x=-4. Como o ramo do meio está definido para -4\le x<4, o valor é
f(-4)=\sqrt{25-(-4)^{2}}+1=4.
Comparação: limite pela esquerda é 6, limite pela direita é 4, e f(-4)=4. Como os limites laterais não coincidem (6\ne4), a condição de continuidade falha.
Passo 4
Interpretação técnica para x=-4: os dois limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes; isso caracteriza uma descontinuidade do tipo “salto” (jump) em x=-4. Não adianta que o valor da função coincida com o limite pela direita; é preciso que ambos os lados coincidam com o valor.
Passo 5
Análise em x_{0}=4.
Limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 4^{-}} f(x). Para x<4 na vizinhança usamos o ramo do meio f(x)=\sqrt{25-x^{2}}+1. Avaliando em x=4 (pela continuidade do radical):
Valor da função em x=4. Como o ramo direito é válido em x\ge 4, temos
f(4) = -|4-4|+6 = -0 +6 = 6.
Comparação: limite pela esquerda é 4, limite pela direita é 6, e f(4)=6. Como os limites laterais não coincidem (4\ne6), a condição de continuidade não é satisfeita.
Passo 6
Interpretação técnica para x=4: novamente os limites laterais existem e são finitos, mas são diferentes — é uma descontinuidade de salto (jump) em x=4. O valor da função em x=4 coincide com o limite pela direita, mas isso não basta.
Resposta
A função não é contínua em x_{0}=-4.
A função não é contínua em x_{0}=4.