Calcule os limites, caso existam: \lim _{x \rightarrow 3} f(x), f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{3}-x}{x^{2}-x}, & \text { se } x<1 \text { e } x \neq 0 \\\\ 3, & \text { se } 1 \leq x \leq 3 \\\ \frac{x^{2}}{2}-2 x, & \text { se } x \geq 3\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: calcular os limites quando x \to 3\) da função \(f(x)\).
- A função \(f\) é dada por partes:
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}-x}{x^{2}-x}, & \text{se } x<1 \text{ e } x\neq 0,\\[6pt] 3, & \text{se } 1\le x\le 3,\\[6pt] \dfrac{x^{2}}{2}-2x, & \text{se } x\ge 3. \end{cases}
Perguntas que vamos responder (explicitamente): \displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)\], \(\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x) e, com base nisso, \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x) (se existir).
Observação importante (apenas para clareza): o valor que f toma exatamente em x=3 não altera o limite \lim_{x\to 3} f(x). Para calcular os limites unilaterais usamos os ramos da definição que valem para x próximos de 3 mas diferentes de 3.]
Passo 2
Conceito rápido e útil sobre limites unilaterais (em linguagem simples):
A existência do limite \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x) exige que os dois limites unilaterais sejam iguais:\lim_{x\to 3} f(x)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^+} f(x).
Para calcular \displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x) precisamos ver qual expressão da função vale para x<3 mas muito próximo de 3.
Para calcular \displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x) precisamos ver qual expressão vale para x>3 mas muito próximo de 3.
Observação sobre continuidade: funções constantes e polinômios são contínuas onde estão definidas; isso significa que o limite quando x se aproxima de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto (desde que este ramo valha numa vizinhança do ponto).
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x).
Para x ligeiramente menores que 3 temos 1\le x<3, portanto usamos o segundo ramo da definição, que é a constante f(x)=3 nessa vizinhança à esquerda de 3.
O limite de uma função constante quando x\to qualquer ponto é a própria constante. Logo\lim_{x\to 3^-} f(x)=3.
Explicando de forma bem direta: se para todos os x próximos e menores que 3 temos f(x)=3, então ao aproximar x de 3 pela esquerda f(x) fica sempre igual a 3, então o limite pela esquerda é 3.
Passo 4
Calcular o limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x).
Para x ligeiramente maiores que 3 usamos o terceiro ramo: f(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-2x.
Essa expressão é um polinômio (combinação de potências de x com constantes) e polinômios são contínuos em todos os pontos. Para funções contínuas, o limite quando x\to 3 pela direita (ou pela esquerda) é o valor da expressão avaliada em x=3.
Calculando:\left.\left(\dfrac{x^{2}}{2}-2x\right)\right|_{x=3}=\dfrac{3^{2}}{2}-2\cdot 3=\dfrac{9}{2}-6.Agora fazer a subtração com cuidado:\dfrac{9}{2}-6=\dfrac{9}{2}-\dfrac{12}{2}=\dfrac{9-12}{2}=\dfrac{-3}{2}.
Portanto\lim_{x\to 3^+} f(x)=-\dfrac{3}{2}.
Passo 5
Conclusão sobre o limite \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x).
Encontramos os limites unilaterais:\lim_{x\to 3^-} f(x)=3,\qquad \lim_{x\to 3^+} f(x)=-\dfrac{3}{2}.
Como esses dois valores são diferentes, o limite bilateral não existe. Em palavras: aproximando por valores menores que 3 a função tende a 3, aproximando por valores maiores que 3 tende a -\tfrac{3}{2}; por isso não há um único valor limite quando x\to 3.