Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede para calcular os limites em
(ou seja, os limites laterais e, se existir, o limite bilateral). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está definida por duas expressões diferentes dependendo de
. - A região de interesse é em torno de
. - Temos de verificar os limites laterais
e e então o limite .]
Passo 2
Conceitos essenciais (explicação didática e prática).
- Definição prática de limite lateral:
- Para funções polinomiais (como
), vale a propriedade de continuidade: a limite de um polinômio quando
é simplesmente o polinômio avaliado em . Em prova, isso permite calcular limites substituindo na expressão polinomial quando a aproximação vem de uma região onde aquela expressão se aplica.]
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda
.
- Ao aproximar
de pela esquerda usamos a expressão válida para , que é . - Pelo fato de
ser um polinômio (contínuo), pode-se substituir diretamente:
- Calculando:
- Portanto
.
Passo 4
Análise do limite pela direita
.
- Para definir
precisamos que a função tenha valores definidos em pontos com arbitrariamente próximos de (ou seja, exista uma vizinhança à direita de onde a função esteja definida). - Observando o enunciado tal como dado, as duas condições são
e . Não há nenhuma expressão definida para . Ou seja, para a função não foi especificada (não há valores de à direita de ). - Como não existem valores de
para com (para qualquer ), não há como formar uma sequência de pontos da direita que se aproxime de . Consequentemente, o limite pela direita não está definido: não existe . - (Observação útil para prova: se a segunda condição tivesse sido escrita como
em vez de , então a expressão válida para seria , e aí, por continuidade do polinômio, . Mas isso é um caso diferente do que o enunciado literal fornece.)
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral
.
- Pelo Passo 3 temos
. - Pelo Passo 4 não existe
. - Como os dois limites laterais não existem e/ou não são iguais, a condição necessária para a existência do limite bilateral não é satisfeita. Logo
não existe.