Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow-1} f(x), f(x)=\left\{\begin{array}{rlr}2 x^{2}-1, & \text { se } & x<-1 \\\ x^{3}-x-1, & \text { se } & x \leq-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2x^{2}-1, & \text{se } x<-1,\\[4pt] x^{3}-x-1, & \text{se } x\le -1, \end{cases}
e pede para calcular os limites em x\to -1 (ou seja, os limites laterais e, se existir, o limite bilateral). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está definida por duas expressões diferentes dependendo de x.
  • A região de interesse é em torno de x=-1.
  • Temos de verificar os limites laterais \lim_{x\to -1^-} f(x) e \lim_{x\to -1^+} f(x) e então o limite \lim_{x\to -1} f(x).]

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática e prática).
  • Definição prática de limite lateral: \lim_{x\to a^-} f(x)\) é o valor que \(f(x)\) tende quando \(x\) se aproxima de \(a\) pela esquerda (valores menores que \(a\)); \(\lim_{x\to a^+} f(x)\) é o valor quando \(x\) se aproxima de \(a\) pela direita (valores maiores que \(a\)). - Condição para existência do limite bilateral: \(\lim_{x\to a} f(x)\) existe se, e somente se, os dois limites laterais existem e são iguais: \[\lim_{x\to a} f(x)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \lim_{x\to a^-} f(x)\\ \text{existe},\\[2pt] \lim_{x\to a^+} f(x)\\ \text{existe},\\[2pt] \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x). \end{cases}
  • Para funções polinomiais (como 2x^{2}-1\] e \(x^{3}-x-1), vale a propriedade de continuidade: a limite de um polinômio quando x\to a é simplesmente o polinômio avaliado em a. Em prova, isso permite calcular limites substituindo x=a na expressão polinomial quando a aproximação vem de uma região onde aquela expressão se aplica.]

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to -1^-} f(x).
  • Ao aproximar x de -1 pela esquerda usamos a expressão válida para x<-1, que é 2x^{2}-1.
  • Pelo fato de 2x^{2}-1 ser um polinômio (contínuo), pode-se substituir x=-1 diretamente:
\lim_{x\to -1^-} f(x)=\lim_{x\to -1^-}\bigl(2x^{2}-1\bigr)=2(-1)^{2}-1.
  • Calculando:
2(-1)^{2}-1=2\cdot 1 -1=2-1=1.
  • Portanto \lim_{x\to -1^-} f(x)=1.

Passo 4

Análise do limite pela direita \lim_{x\to -1^+} f(x).
  • Para definir \lim_{x\to -1^+} f(x) precisamos que a função tenha valores definidos em pontos com x>-1 arbitrariamente próximos de -1 (ou seja, exista uma vizinhança à direita de -1 onde a função esteja definida).
  • Observando o enunciado tal como dado, as duas condições são x<-1 e x\le -1. Não há nenhuma expressão definida para x>-1. Ou seja, para x>-1 a função não foi especificada (não há valores de f(x) à direita de -1).
  • Como não existem valores de f(x) para x com -1<x< -1+\delta (para qualquer \delta>0), não há como formar uma sequência de pontos da direita que se aproxime de -1. Consequentemente, o limite pela direita não está definido: não existe \lim_{x\to -1^+} f(x).
  • (Observação útil para prova: se a segunda condição tivesse sido escrita como x\ge -1 em vez de x\le -1, então a expressão válida para x>-1 seria x^{3}-x-1, e aí, por continuidade do polinômio, \lim_{x\to -1^+} f(x)=(-1)^{3}-(-1)-1=-1. Mas isso é um caso diferente do que o enunciado literal fornece.)

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral \lim_{x\to -1} f(x).
  • Pelo Passo 3 temos \lim_{x\to -1^-} f(x)=1.
  • Pelo Passo 4 não existe \lim_{x\to -1^+} f(x).
  • Como os dois limites laterais não existem e/ou não são iguais, a condição necessária para a existência do limite bilateral não é satisfeita. Logo \lim_{x\to -1} f(x) não existe.

Resposta

\lim_{x\to -1^-} f(x)=1
\lim_{x\to -1^+} f(x) não existe
\lim_{x\to -1} f(x) não existe

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