Calcule os limites caso existam
lim (x, y) (0,0) x sin 1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y) = x ,sin!l(tfrac1x^2+y^2r)
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é cálculo de limite em R^2 e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Usamos que, para todo argumento real u, vale
-1 <= sin(u) <= 1
Logo,
l|x ,sin!l(tfrac1x^2+y^2r)r| <= |x|cdot 1 = |x|

Passo 3

Defina
r = raizx^2+y^2
Então claramente |x|<= r, pois raizx^2<=raizx^2+y^2. Assim obtemos a desigualdade
-;r ;<=; x ,sin!l(tfrac1x^2+y^2r);<=; r

Passo 4

Como lim(x,y)to(0,0)r = 0, pelo Teorema do Confronto segue que
lim(x,y)to(0,0)x ,sin!l(tfrac1x^2+y^2r) = 0

Resposta

0

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