Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a série de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)= 1, & se theta in[0, pi[ -1, & se theta in]-pi, 0].

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função
O conteúdo é série de Fourier de período (2\pi]. Vamos usar as fórmulas das coeficientes

Passo 2

A função f é ímpar, pois foralltheta, f(-theta)=-f(theta). Numpar de vista, integral-pi^pif(theta),dtheta=0. Logo
a0=0

Passo 3

Como f é ímpar e cos(ntheta) é par, o produto f(theta)cos(ntheta) é ímpar, e sua integral simétrica vale zero. Logo
an=0para todo n>=1

Passo 4

Para bn, escrevemos
bn=1pil(integral-pi^0(-1)sin(ntheta),dtheta+integral0^pi1cdotsin(ntheta),dthetar)
Calculemos cada parte:
integral0^pisin(ntheta),dtheta =l[-tfrac1ncos(ntheta)r]0^pi =-tfrac1nl(cos(npi)-cos0r) =tfrac1nl(1-(-1)^nr)
integral-pi^0sin(ntheta),dtheta =l[-tfrac1ncos(ntheta)r]-pi^0 =-tfrac1nl(cos0-cos(npi)r) =tfrac1nl((-1)^n-1r)
Multiplicando o primeiro por +1 e o segundo por -1 e somando, obtemos
bn =1pil(tfrac1n(1-(-1)^n)-tfrac1n((-1)^n-1)r) =2pi nl(1-(-1)^nr)
Como 1-(-1)^n=0 para n par e 2 para n ímpar, segue
bn= 4pi n,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 5

Como a0=0, todos os an=0 e restam apenas os senos de índice ímpar, a série de Fourier fica
f(theta) =sumk=0^inftyb2k+1,sinl((2k+1)thetar) =sumk=0^infty4pi(2k+1)sinl((2k+1)thetar)

Resposta

f(theta) =4pisumk=0^infty12k+1,sinl((2k+1)thetar)

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