Seja
f(x)= x^2, & x <= 0 e^-1x, & x>0
Determine lim x 0 f(x), se existir e justifique se f é contínua em 0 .
Temos
lim x 0^- f(x)=lim x 0^- x^2=0
(0,5)
lim x 0^+ f(x)=lim x 0^+ e^-1 / x=e^lim x 0^+-1 / x=e^-1 / 0^+=e^-infty=0
(0,5) Como, também f(0)=0, concluímos que f é contínua em 0 .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2, & x <= 0, e^-1/x, & x>0,
e pede para calcular limxto0f(x) e verificar se f é contínua em 0. Vamos usar o conceito de limites laterais e a definição de continuidade (que exige que limxto0f(x)=f(0)).

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda. Como para x<=0 vale f(x)=x^2, temos
limxto0^-f(x)=limxto0^-x^2=0
Aqui bastou usar substituição direta na função polinomial, já que x^2 é contínua em 0.

Passo 3

Calcular o limite pela direita. Para x>0 vale f(x)=e^-1/x. Quando xto0^+, então 1/xto+infty e
-,tfrac1x;longrightarrow;-,infty,
logo
limxto0^+f(x) =limxto0^+e^-1/x =e^-infty =0
Este resultado vem da propriedade da exponencial de tender a zero quando o expoente vai a -infty.

Passo 4

Concluímos que os limites laterais existem e coincidem:
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x) =0
Além disso, pelo enunciado f(0)=0^2=0. Como o limite em 0 é igual a f(0), a função é contínua em 0.

Resposta

limxto0f(x)=0, e f é contínua em 0.

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