Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{5}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{5}{x-1}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{5}{x-1}.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • Não há figura nem outros dados.

Passo 2

Primeiro é bom verificar se a expressão está bem definida em x=2. Isso significa olhar o denominador:
x-1 \quad\text{em } x=2 \text{ vale } 2-1=1.
Como 1\neq 0, a função f(x)=\dfrac{5}{x-1} está definida em x=2. Esse é um sinal bom: quando uma função racional (fração de polinômios) está definida num ponto, normalmente o limite naquele ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto — porque funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero.

Passo 3

Agora uso uma propriedade básica de limites (regra do quociente): se \lim_{x\to a} g(x)=G e \lim_{x\to a} h(x)=H com H\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{g(x)}{h(x)}=\frac{G}{H}.
Aqui escolho g(x)=5 (constante) e h(x)=x-1. Calculo os limites separados:
\lim_{x\to 2} 5 = 5, \qquad \lim_{x\to 2} (x-1) = 2-1 = 1.
Como o limite do denominador é 1\neq 0, posso aplicar a regra do quociente.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
\lim_{x\to 2} \frac{5}{x-1} = \frac{\lim_{x\to 2}5}{\lim_{x\to 2}(x-1)} = \frac{5}{1}=5.
Portanto o limite existe e é 5.

Passo 5

Interpretação prática e dica para a prova: sempre que tiver uma fração de polinômios (função racional) e o denominador não for zero no ponto de interesse, basta substituir x=a. Se o denominador for zero aí (por exemplo x\to 1 neste caso), aí o limite precisa de análise adicional (pode divergir para \pm\infty ou não existir). Isso te salva muito tempo em questões objetivas.

Resposta

5

Exercícios relacionados