Mostre, a partir da definição limite (usando epsilon e delta ) que:
\lim _{x \rightarrow p} x^{2}=p^{2}, \forall p \neq 0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • O enunciado pede para provar, usando a definição de limite com \varepsilon e \delta, que
\lim_{x\to p} x^{2} = p^{2}
para todo \;p \neq 0.
  • Informação dada: o ponto de limite p é um número real diferente de zero ( p\neq 0). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Recordando a definição de limite (em linguagem bem direta).
  • A definição que vamos usar: afirmar que \displaystyle\lim_{x\to p} x^{2}=p^{2} significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-p|<\delta, vale |x^{2}-p^{2}|<\varepsilon.
  • Objetivo prático: dado um \varepsilon>0 qualquer, construir (ou indicar) um \delta>0 que dependa de \varepsilon e de p, e provar que esse \delta funciona.

Passo 3

Manipular a expressão que queremos controlar.
  • Observe a fatoração clássica:
|x^{2}-p^{2}| = |x-p||x+p|.
Isto reduz o problema a controlar o produto |x-p|\cdot|x+p|. Já temos controle sobre |x-p| (será menor que \delta); falta controlar |x+p| por meio de algo que dependa de p e de \delta.

Passo 4

Escolher uma restrição prática sobre \delta para dominar |x+p|.
  • Vamos forçar \delta a ser pequeno em relação a |p|. Como p\neq 0, o número |p|/2 é positivo, então faz sentido pedir \delta\le |p|/2.
  • Se 0<|x-p|<\delta\le |p|/2, então por desigualdade triangular inversa:
|x| \ge |p| - |x-p| > |p| - \frac{|p|}{2} = \frac{|p|}{2}.
  • A partir disso, usamos a desigualdade triangular direta para |x+p|:
|x+p| \le |x| + |p| < \frac{|p|}{2} + |p| = \frac{3|p|}{2}.
  • Conclusão útil: sempre que 0<|x-p|<\delta\le |p|/2, vale
|x^{2}-p^{2}| = |x-p||x+p| < |x-p|\cdot\frac{3|p|}{2}.

Passo 5

Escolher \delta em função de \varepsilon (construção explícita) e verificar que funciona.
  • A desigualdade do passo anterior mostra que é suficiente garantir
|x-p|\cdot\frac{3|p|}{2} < \varepsilon.
  • Isso será garantido se tomarmos
|x-p| < \frac{2\varepsilon}{3|p|}.
  • Para combinar com a condição \delta\le |p|/2 que impusemos antes, escolhemos
\delta = \min\!\left(\frac{|p|}{2},\; \frac{2\varepsilon}{3|p|}\right).
  • Verificação completa: dado \varepsilon>0, essa \delta é positiva porque p\neq 0. Se 0<|x-p|<\delta, então primeiro |x-p|<|p|/2 e, como mostrado, |x+p|<\tfrac{3|p|}{2}. Assim
|x^{2}-p^{2}| = |x-p||x+p| < |x-p|\cdot\frac{3|p|}{2} \le \delta\cdot\frac{3|p|}{2} \le \frac{2\varepsilon}{3|p|}\cdot\frac{3|p|}{2} = \varepsilon.
  • Portanto, para esse \delta vale a definição: sempre que 0<|x-p|<\delta teremos |x^{2}-p^{2}|<\varepsilon.

Passo 6

Conclusão e observações finais (rápidas e motivadoras).
  • Concluímos, com construção explícita de \delta em função de \varepsilon, que a definição de limite é satisfeita para todo p\neq 0. Ou seja, provamos rigorosamente que \displaystyle\lim_{x\to p} x^{2}=p^{2} para todo p\neq 0.
  • Comentário amigo: a ideia-chave foi fatorar x^{2}-p^{2} e garantir que perto de p o termo |x+p| fica limitado por uma constante (aqui \tfrac{3|p|}{2}). A restrição p\neq 0 serviu para poder usar |p|/2>0. Dá para adaptar a prova também para p=0 com outro argumento (fica ainda mais simples), mas o enunciado pediu p\neq 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to p} x^{2}=p^{2}

Exercícios relacionados