Mostre, a partir da definição limite (usando
e
) que:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- O enunciado pede para provar, usando a definição de limite com
e , que
para todo
.
- Informação dada: o ponto de limite
é um número real diferente de zero ( ). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Recordando a definição de limite (em linguagem bem direta).
-
A definição que vamos usar: afirmar que
significa que, para todo , existe tal que, sempre que , vale . -
Objetivo prático: dado um
qualquer, construir (ou indicar) um que dependa de e de , e provar que esse funciona.
Passo 3
Manipular a expressão que queremos controlar.
- Observe a fatoração clássica:
Isto reduz o problema a controlar o produto
. Já temos controle sobre
(será menor que
); falta controlar
por meio de algo que dependa de
e de
.
Passo 4
Escolher uma restrição prática sobre
para dominar
.
-
Vamos forçar
a ser pequeno em relação a . Como , o número é positivo, então faz sentido pedir . -
Se
, então por desigualdade triangular inversa:
- A partir disso, usamos a desigualdade triangular direta para
:
- Conclusão útil: sempre que
, vale
Passo 5
Escolher
em função de
(construção explícita) e verificar que funciona.
- A desigualdade do passo anterior mostra que é suficiente garantir
- Isso será garantido se tomarmos
- Para combinar com a condição
que impusemos antes, escolhemos
- Verificação completa: dado
, essa é positiva porque . Se , então primeiro e, como mostrado, . Assim
- Portanto, para esse
vale a definição: sempre que teremos .
Passo 6
Conclusão e observações finais (rápidas e motivadoras).
-
Concluímos, com construção explícita de
em função de , que a definição de limite é satisfeita para todo . Ou seja, provamos rigorosamente que para todo . -
Comentário amigo: a ideia-chave foi fatorar
e garantir que perto de o termo fica limitado por uma constante (aqui ). A restrição serviu para poder usar . Dá para adaptar a prova também para com outro argumento (fica ainda mais simples), mas o enunciado pediu .