Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{5 x^{2}-6 x+1}{x^{2}-x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{5x^{2}-6x+1}{x^{2}-x}.
Informações dadas: a expressão da função racional no numerador é 5x^{2}-6x+1 e no denominador é x^{2}-x. O ponto onde o limite deve ser calculado é x=1.

Passo 2

Primeiro teste: tentativa de substituição direta em x=1.
\text{Numerador em }x=1:\;5\cdot1^{2}-6\cdot1+1=5-6+1=0.
\text{Denominador em }x=1:\;1^{2}-1=0.
Logo a substituição direta dá a forma \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Quando isso ocorre não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo: precisamos manipular a expressão (normalmente fatorando e simplificando) para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Estratégia: fatorar numerador e denominador para buscar um fator comum que anule a indeterminação. Vou mostrar passo a passo como fatorar o numerador 5x^{2}-6x+1.
Para fatorar um quadrático ax^{2}+bx+c podemos usar as raízes obtidas pela fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante. Aplicando ao nosso caso a=5, b=-6, c=1:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot5\cdot1=36-20=16.
Como \Delta=16, as raízes são
x=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2\cdot5}=\frac{6\pm4}{10}.
Assim as raízes são
x_{1}=\frac{6+4}{10}=1,\qquad x_{2}=\frac{6-4}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.
Portanto o polinômio fatorado é (colocando o fator 5 junto para ajustar o coeficiente principal)
5x^{2}-6x+1 = 5\bigl(x-1\bigr)\bigl(x-\tfrac{1}{5}\bigr).
Verificação rápida: expandindo 5(x-1)(x-\tfrac{1}{5}) obtém-se 5x^{2}-6x+1, logo a fatoração está correta.

Passo 4

Fatorar o denominador x^{2}-x é direto:
x^{2}-x = x(x-1).

Passo 5

Agora escrevemos a razão usando as fatorações (válida para x próximos de 1 mas x\neq1):
\frac{5x^{2}-6x+1}{x^{2}-x} = \frac{5(x-1)\bigl(x-\tfrac{1}{5}\bigr)}{x(x-1)}.
Como estamos estudando o limite quando x\to1, podemos simplificar cancelando o fator comum (x-1) para x\neq1:
\frac{5(x-1)\bigl(x-\tfrac{1}{5}\bigr)}{x(x-1)} = \frac{5\bigl(x-\tfrac{1}{5}\bigr)}{x} = \frac{5x-1}{x},\qquad \text{para }x\neq1.
Justificativa: duas funções que coincidem em todo um intervalo com exceção possivelmente do ponto x=1 têm o mesmo limite quando x\to1. Assim o limite da expressão original é o mesmo que o limite da expressão simplificada \dfrac{5x-1}{x}.

Passo 6

A função simplificada \dfrac{5x-1}{x} é uma função racional que é contínua em x=1 (o denominador em x=1 é 1\neq0). Para funções contínuas o limite ao ponto é simplesmente o valor obtido pela substituição. Portanto:
\lim_{x\to1}\frac{5x-1}{x} = \frac{5\cdot1-1}{1}=\frac{4}{1}=4.

Passo 7

Conclusão e reforço didático rápido: quando a substituição direta dá 0/0, é comum fatorar e cancelar o fator que causa a indeterminação (aqui (x-1)). Depois de cancelar, calcular o limite da função simplificada por continuidade. Um exemplo análogo e rápido: \lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4.

Resposta

4

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