Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão da função racional no numerador é
e no denominador é
. O ponto onde o limite deve ser calculado é
.
Passo 2
Primeiro teste: tentativa de substituição direta em
.
Logo a substituição direta dá a forma
, que é uma forma indeterminada. Quando isso ocorre não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo: precisamos manipular a expressão (normalmente fatorando e simplificando) para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Estratégia: fatorar numerador e denominador para buscar um fator comum que anule a indeterminação. Vou mostrar passo a passo como fatorar o numerador
.
Para fatorar um quadrático
podemos usar as raízes obtidas pela fórmula quadrática:
onde
é o discriminante. Aplicando ao nosso caso
,
,
:
Como
, as raízes são
Assim as raízes são
Portanto o polinômio fatorado é (colocando o fator
junto para ajustar o coeficiente principal)
Verificação rápida: expandindo
obtém-se
, logo a fatoração está correta.
Passo 4
Fatorar o denominador
é direto:
Passo 5
Agora escrevemos a razão usando as fatorações (válida para
próximos de
mas
):
Como estamos estudando o limite quando
, podemos simplificar cancelando o fator comum
para
:
Justificativa: duas funções que coincidem em todo um intervalo com exceção possivelmente do ponto
têm o mesmo limite quando
. Assim o limite da expressão original é o mesmo que o limite da expressão simplificada
.
Passo 6
A função simplificada
é uma função racional que é contínua em
(o denominador em
é
). Para funções contínuas o limite ao ponto é simplesmente o valor obtido pela substituição. Portanto:
Passo 7
Conclusão e reforço didático rápido: quando a substituição direta dá
, é comum fatorar e cancelar o fator que causa a indeterminação (aqui
). Depois de cancelar, calcular o limite da função simplificada por continuidade. Um exemplo análogo e rápido:
.