(2,0) Determine o raio de convergência e também o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^+infty (-1)^n x^nn+1

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^nx^nn+1
Para isso vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e, em seguida, testar os pontos x=1 e x=-1.

Passo 2

Seja an=(-1)^nn+1. Pelo teste da razão, consideramos
|an+1x^n+1an x^n| =|(-1)^n+1n+2,n+1(-1)^n,x| =|x|n+1n+2
Fazendo ntoinfty obtemos
limntoinfty|an+1x^n+1an x^n| =limntoinfty|x|n+1n+2 =|x|
A série converge se |x|<1. Logo, o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Em x=1 a série fica
sumn=0^infty(-1)^nn+1,
que é alternante, com termos 1n+1 decrescentes e tendendo a zero. Pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Passo 4

Em x=-1 a série se reduz a
sumn=0^infty(-1)^n(-1)^nn+1 =sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge.

Resposta

R=1.
Intervalo de convergência: -1<x<=1.

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