Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a série de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=theta(pi-|theta|).

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função definida em (-pi,pi)
f(theta)=thetal(pi-|theta|r)
Como vamos estender f periodicamente de período 2pi, o conteúdo aqui é desenvolver uma série de Fourier usual em (-pi,pi).

Passo 2

Antes de mais nada, observamos a paridade de f. Para theta>0 temos f(theta)=pitheta-theta^2 e para theta<0
f(theta)=thetal(pi-(-theta)r)=pitheta+theta^2=-l(pi(-theta)-(-theta)^2r)=-f(-theta)
Logo f é ímpar e sua série de Fourier só tem termos em seno:
f(theta)=sumn=1^inftybn,sin(ntheta),
onde
bn=1piintegral-pi^pif(theta)sin(ntheta),dtheta =2piintegral0^pil(pitheta-theta^2r)sin(ntheta),dtheta

Passo 3

Defina
I=integral0^pil(pitheta-theta^2r)sin(ntheta),dtheta =piunderbraceintegral0^pithetasin(ntheta),dthetaJ1 -underbraceintegral0^pitheta^2sin(ntheta),dthetaJ2
Usando integração por partes em cada termo:
J1=integral0^pithetasin(ntheta),dtheta =-picos(npi)n,
J2=integral0^pitheta^2sin(ntheta),dtheta =-pi^2cos(npi)n +2nintegral0^pithetacos(ntheta),dtheta =-pi^2(-1)^nn +2l((-1)^n-1r)n^3

Passo 4

Substituindo em I=pi J1-J2 vem
I =pil(-pi(-1)^nnr) -l(-pi^2(-1)^nn+2l((-1)^n-1r)n^3r) =-2l((-1)^n-1r)n^3
Como (-1)^n-1=0 para n par e -2 para n ímpar, obtemos
I= 0,&n par, 4n^3,&n ímpar í
Portanto
bn=2piI = 0,&n par, 8pi,n^3,&n ímpar í

Passo 5

Substituindo na série em senos só restam os termos de índice ímpar. Por isso a expansão final é
f(theta) =sumk=0^inftyb2k+1,sinl((2k+1)thetar) =8pisumk=0^inftysinl((2k+1)thetar)(2k+1)^3

Resposta

boxed f(theta) =8pisumk=0^inftysinl((2k+1)thetar)(2k+1)^3

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