Determine uma equação da reta normal à curva x^2-log ^2(y+1)=0 no ponto (1,9).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal à curva definida implicitamente por
x^2-log^2(y+1)=0
no ponto (1,9). Para isso vamos usar derivação implícita para achar a inclinação da tangente e, em seguida, obter a inclinação da normal (que é o negativo do inverso da inclinação da tangente).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
x^2-l[log(y+1)r]^2=0
em relação a x, temos
2x ;-; 2,log(y+1),1y+1,dydx ;=; 0
Isolando dydx obtemos
2x ;=; 2,log(y+1),1y+1,dydx Longrightarrow dydx =2x2,dfraclog(y+1)y+1 =x,(y+1)log(y+1)

Passo 3

No ponto (1,9) temos y+1=10 e log(y+1)=log(10). Logo a inclinação da tangente é
mtan =1cdot 10log(10) =10log(10)

Passo 4

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente, isto é
mnorm =-1mtan =-log(10)10

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação da reta,
y - 9 =mnorm,(x - 1) =-log(10)10,(x - 1)

Resposta

A equação da reta normal é
y - 9 =-log(10)10,(x - 1)

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