Calcule os limites, caso existam:
lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x+y

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
lim(x,y)to(0,0) x^3+y^3x+y
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos usar fatoração de soma de cubos para simplificar a expressão.

Passo 2

Aplicamos a fatoração
x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)
Para (x,y) tal que x+yneq0, a expressão
x^3+y^3x+y
pode ser simplificada para
x^2-xy+y^2

Passo 3

A função simplificada x^2-xy+y^2 é polinomial e contínua em todo R^2. Logo,
lim(x,y)to(0,0)(x^2-xy+y^2) =0^2-0cdot0+0^2 =0
Como não há dependência de direção que altere esse valor, o limite original existe e vale 0.

Resposta

0

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