Verifque se a função
f(x, y)= x^2 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
f(x, y)= dfracx^2yx^2+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). Para isso, precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.

Passo 2

Para calcular o limite, usamos coordenadas polares. Escrevemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo. Então, para (x,y)neq(0,0),
f(x,y) = (rcostheta)^2,(rsintheta)(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 = r^3cos^2theta,sinthetar^2 = r,cos^2theta,sintheta
Logo,
l|f(x,y)r| = l|r,cos^2theta,sinthetar| <= r;l|cos^2theta,sinthetar| <= r
Como limrto0r=0, segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 3

Visto que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
e f(0,0)=0, concluímos que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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