Calcule os limites, caso existam:
lim (x, y) (0,0) x^4+y^4x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
lim(x,y)to(0,0)x^4+y^4x^2+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e aplicação do teorema do aperto (squeeze theorem).

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares, onde
x = rcostheta, y = rsintheta,
portanto
x^2 + y^2 = r^2,
x^4 + y^4 = r^4l(cos^4theta + sin^4thetar)
Isso nos dá
x^4+y^4x^2+y^2 = r^4(cos^4theta+sin^4theta)r^2 = r^2l(cos^4theta+sin^4thetar)

Passo 3

Como para todo theta vale cos^4theta+sin^4theta<=1, temos
0 ;<=; gl|x^4+y^4x^2+y^2gr| ;<=; r^2
Quando (x,y)to(0,0) implica rto0, o termo r^2to0. Pelo teorema do aperto segue que
lim(x,y)to(0,0)x^4+y^4x^2+y^2=0

Resposta

0

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