Calcule os limites, caso existam:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0) x^2yx^2+y^2,
que é um limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar a ideia de coordenadas polares, que costuma simplificar expressões desse tipo e revela se o limite depende da direção de aproximação.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares, definindo
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo. No limite (x,y)to(0,0), temos rto0.

Passo 3

Substituindo na expressão, obtemos
x^2yx^2+y^2 = (rcostheta)^2,(rsintheta)(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 = r^3cos^2thetasinthetar^2(cos^2theta+sin^2theta) = rcos^2thetasintheta

Passo 4

Observamos que |cos^2thetasintheta|<=1. Logo
|rcos^2thetasintheta|<= r
Como rto0 quando (x,y)to(0,0), segue que
rcos^2thetasinthetato0

Resposta

O limite existe e vale 0.
lim(x,y)to(0,0) x^2yx^2+y^2 = 0

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