Calcule os limites, caso existam:
lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite em R^2
lim(x,y)to(0,0) x^2 y^2x^2 + y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. Vamos usar mudança para coordenadas polares e, se necessário, o Teorema do Confronto (Squeeze).

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e thetain[0,2pi). Então
x^2+y^2 = r^2(cos^2theta+sin^2theta)=r^2
e
x^2y^2 = l(rcosthetar)^2l(rsinthetar)^2 = r^4cos^2thetasin^2theta
Substituindo no quociente,
x^2y^2x^2+y^2 = r^4cos^2thetasin^2thetar^2 = r^2cos^2thetasin^2theta

Passo 3

Como cos^2thetasin^2theta<=1 para todo theta, segue
0 <= l|r^2cos^2thetasin^2thetar| <= r^2
Quando (x,y)to(0,0) temos rto0, logo pelo Teorema do Confronto
r^2cos^2thetasin^2theta longrightarrow 0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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