Calcule os limites: Determine, caso exista, o limite da função f(x)=3 x^2-5 x-2|x-2|.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar o comportamento de f(x)=3x^2-5x-2|x-2| quando x se aproxima de 2, isto é, calcular limxto2f(x). O conteúdo aqui envolve limite com valor absoluto, então vamos precisar analisar os limites laterais (esquerda e direita) e usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador para ver se ele cancela algo com o denominador. Temos:
3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)

Passo 3

Agora escrevemos f(x) usando essa fatoração e lembramos que |x-2| muda de sinal em torno de x=2. Para x>2, |x-2|=x-2, então
f(x)=(3x+1)(x-2)x-2=3x+1,
o que nos dá o limite pela direita:
limxto2^+f(x)=3cdot2+1=7

Passo 4

Para x<2, |x-2|=-(x-2)=2-x, então
f(x)=(3x+1)(x-2)-(x-2)=-(3x+1)=-3x-1,
e daí o limite pela esquerda:
limxto2^-f(x)=-3cdot2-1=-7

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes, o limite limxto2f(x) não existe.

Resposta

O limite não existe, pois limxto2^-f(x)=-7 e limxto2^+f(x)=7.

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