Determine se a sequência converge o diverge. Se ela convergir encontre o limite.
an=integral1^n 1x^p d x, p>0

Passo 1

O enunciado dá a sequência an=integral1^nx^-p,dx com p>0. Esse problema envolve integrais impróprias e limites de sequência; vamos precisar da antiderivada de x^-p e analisar o comportamento quando ntoinfty.

Passo 2

Para calcular a integral, distinguimos dois casos:
Para pneq1, a antiderivada de x^-p é
integral x^-p,dx=x^1-p1-p
Logo,
an=integral1^nx^-p,dx=n^1-p-11-p
Para p=1, temos a integral clássica
an=integral1^n1x,dx=ln n

Passo 3

Agora analisamos o limite ntoinfty nos dois casos:
  • Se p>1, então 1-p<0 e n^1-pto0. Assim an=n^1-p-11-pto0-11-p=1p-1, logo converge.
  • Se p=1, então an=ln nto+infty, diverge.
  • Se 0, então 1-p>0 e n^1-pto+infty, an=n^1-p-11-psimn^1-p1-pto+infty, logo diverge.

Resposta

A sequência converge só para p>1, com limntoinftyan=dfrac1p-1. Para p<=1 diverge.

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