Determine se a sequência converge o diverge. Se ela convergir encontre o limite.
an=(3^n+5^n)^1 / n

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a sequência an = (3^n + 5^n)^1/n, que é um caso típico de “raízes de soma de potências”. Vamos usar conceitos de limite de sequência, fatoração de termos dominantes e propriedades de potências.

Passo 2

Para destacar o termo que domina quando n cresce, fatoramos 5^n dentro da soma:
3^n + 5^n = 5^nl((3/5)^n + 1r)
Assim
an = l(3^n + 5^nr)^1/n = l(5^nl((3/5)^n + 1r)r)^1/n

Passo 3

Agora usamos a propriedade (XY)^1/n = X^1/nY^1/n:
an = (5^n)^1/n cdot l((3/5)^n + 1r)^1/n = 5 cdot l(1 + (3/5)^nr)^1/n

Passo 4

Observamos que (3/5)^n to 0 quando ntoinfty. Portanto o segundo fator fica na forma (1 + varepsilonn)^1/n com varepsilonn to 0. Para ver o limite desse fator, podemos usar logaritmo:
lnl((1+varepsilonn)^1/nr) = 1nln(1+varepsilonn) to 0,
logo (1+varepsilonn)^1/n to e^0 = 1.

Passo 5

Juntando tudo, temos
an = 5 cdot l(1 + (3/5)^nr)^1/n ;xrightarrow[ntoinfty]; 5 cdot 1 = 5
Isso mostra que a sequência converge e seu limite é 5.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 5.

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