Calcule os limites (envolve infinito).
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{2}+x+1}{-4 x^{2}+5 x+10}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{2x^{2}+x+1}{-4x^{2}+5x+10}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{2}+x+1.
  • Denominador: -4x^{2}+5x+10.
  • Queremos \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{2}+x+1}{-4x^{2}+5x+10}.

Passo 2

Ideia chave (explicada passo a passo): para limites quando x\to\pm\infty de frações de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Aqui o grau do numerador e do denominador é 2. Uma forma prática e rigorosa é dividir numerador e denominador por x^{2} (a maior potência presente). Vou mostrar isso detalhadamente.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2} obtemos, para x\neq0,
\frac{2x^{2}+x+1}{-4x^{2}+5x+10} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{-4x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{5x}{x^{2}}+\dfrac{10}{x^{2}}} = \frac{2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{-4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{10}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora usamos o fato de que, quando x\to -\infty,
\frac{1}{x}\to 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x^{2}}\to 0.
(Explicação rápida: \left|\dfrac{1}{x}\right|=1/|x|\to0 e \left|\dfrac{1}{x^{2}}\right|=1/x^{2}\to0. O sinal de x não importa para 1/x^{2} porque é quadrado.)
Portanto, passando ao limite na expressão do Passo 3,
\lim_{x\to -\infty}\frac{2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{-4+\dfrac{5}{x}+\dfrac{10}{x^{2}}} = \frac{2+0+0}{-4+0+0} = \frac{2}{-4}.

Passo 5

Simplificando a fração final,
\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}.
Como verificação intuitiva: para x muito negativo, x^{2} é grande e positivo, então numerador \approx 2x^{2}>0 e denominador \approx -4x^{2}<0, de modo que o quociente é negativo; o valor limite -\tfrac{1}{2} confirma isso.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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