Ideia chave (explicada passo a passo): para limites quando x\to\pm\infty de frações de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Aqui o grau do numerador e do denominador é 2. Uma forma prática e rigorosa é dividir numerador e denominador por x^{2} (a maior potência presente). Vou mostrar isso detalhadamente.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por x^{2} obtemos, para x\neq0,
(Explicação rápida: \left|\dfrac{1}{x}\right|=1/|x|\to0 e \left|\dfrac{1}{x^{2}}\right|=1/x^{2}\to0. O sinal de x não importa para 1/x^{2} porque é quadrado.)
Portanto, passando ao limite na expressão do Passo 3,
Como verificação intuitiva: para x muito negativo, x^{2} é grande e positivo, então numerador \approx 2x^{2}>0 e denominador \approx -4x^{2}<0, de modo que o quociente é negativo; o valor limite -\tfrac{1}{2} confirma isso.