As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo
exceto para um único valor de
. Se possível, defina
neste ponto excepcional de tal forma que
resulte contínua em cada x.
Passo 1
O enunciado dá a função
ou seja, a função está definida para todo
exceto em um único ponto:
. A pergunta é: definir
em
de forma que
resulte contínua em todo
. Em outras palavras, encontrar um valor para
que torne
contínua em
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão para
. Há duas formas naturais de fazer isso; mostro as duas porque uma é útil em prova rápida.
Método A — desenvolvendo o quadrado:
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Agora fatorando
no numerador e cancelando
(válido para
):
Método B — diferença de quadrados (mais curto):
portanto
Ambos mostram que, para
,
Passo 3
Agora calcule o limite quando
se aproxima de
. Como para
a função é
, temos
Explicando o porquê: a expressão
é uma função polinomial contínua, então basta substituir
.
Passo 4
Definição e conclusão prática: uma função é contínua em
se o limite quando
existir e for igual ao valor da função em
. Encontramos que o limite existe e vale
. Portanto basta definir
para que o valor da função em
coincida com o limite — isso remove a descontinuidade e torna
contínua em todo
.
Passo 5
Verificação final rápida: com
e como
é
, a função estendida é contínua em todo ponto, inclusive em
.]