As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo x exceto para um único valor de x. Se possível, defina f(x) neste ponto excepcional de tal forma que f(x) resulte contínua em cada x.
f(x)=\frac{(6+x)^{2}-36}{x}, x \neq 0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{(6+x)^{2}-36}{x},\quad x\neq 0,
ou seja, a função está definida para todo x exceto em um único ponto: x=0. A pergunta é: definir f(x) em x=0 de forma que f resulte contínua em todo x. Em outras palavras, encontrar um valor para f(0) que torne f contínua em x=0.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão para x\neq 0. Há duas formas naturais de fazer isso; mostro as duas porque uma é útil em prova rápida.
Método A — desenvolvendo o quadrado:
(6+x)^{2}=36+12x+x^{2}.
Subtraindo 36 e dividindo por x obtemos
\frac{(6+x)^{2}-36}{x}=\frac{36+12x+x^{2}-36}{x}=\frac{12x+x^{2}}{x}.
Agora fatorando x no numerador e cancelando x (válido para x\neq 0):
\frac{12x+x^{2}}{x}=\frac{x(12+x)}{x}=12+x,\quad x\neq 0.
Método B — diferença de quadrados (mais curto):
(6+x)^{2}-36=((6+x)-6)((6+x)+6)=x(12+x),
portanto
\frac{(6+x)^{2}-36}{x}=\frac{x(12+x)}{x}=12+x,\quad x\neq 0.
Ambos mostram que, para x\neq 0,
f(x)=12+x.

Passo 3

Agora calcule o limite quando x se aproxima de 0. Como para x\neq 0 a função é 12+x, temos
\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}(12+x)=12+0=12.
Explicando o porquê: a expressão 12+x é uma função polinomial contínua, então basta substituir x=0.

Passo 4

Definição e conclusão prática: uma função é contínua em x=0 se o limite quando x\to 0 existir e for igual ao valor da função em 0. Encontramos que o limite existe e vale 12. Portanto basta definir
f(0)=12
para que o valor da função em 0 coincida com o limite — isso remove a descontinuidade e torna f contínua em todo x.

Passo 5

Verificação final rápida: com f(0)=12\) a função fica \[f(x)=\begin{cases} 12+x, & x\neq 0,\\[4pt] 12, & x=0, \end{cases}
e como 12+x\] é contínua e seu valor em \(0 é 12, a função estendida é contínua em todo ponto, inclusive em 0.]

Resposta

f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{(6+x)^{2}-36}{x}, & x\neq 0,\\[6pt] 12, & x=0. \end{cases}]

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