As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo
exceto para um único valor de
. Se possível, defina
neste ponto excepcional de tal forma que
resulte contínua em cada x.
Passo 1
O enunciado dá a função
A única exceção indicada é
. A pergunta pede: definir
em
de modo que
seja contínua em cada
. Vou identificar claramente o que é necessário:
- Informação dada: fórmula de
válida para todo . - Ponto excepcional:
. - Objetivo: escolher um valor para
que torne contínua em .
Passo 2
Lembrete sobre continuidade num ponto (explicação didática): para que
seja contínua em
é preciso que:
-
esteja definido (podemos escolher o valor que quisermos). -
exista. - O valor escolhido satisfaça
.
Portanto a tarefa prática é calcular
e igualar
a esse limite.
Passo 3
Observação sobre a expressão: temos uma diferença de raízes no numerador e
no denominador. Um truque clássico para limites desse tipo é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. O conjugado de
é
. Então multiplico por
(que é 1) para simplificar a expressão para
:
Passo 4
Agora calculo o produto no numerador usando a identidade
. Aqui
e
. Assim:
Substituindo na expressão do passo anterior:
Como estamos considerando
, podemos simplificar o fator
:
Passo 5
Agora que a expressão está simplificada, o limite quando
torna-se simples: basta substituir
na expressão contínua
:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 6
Conclusão prática: para que
seja contínua em
devemos definir
igual ao limite encontrado. Ou seja, escolher
Com essa definição,
fica contínua em
porque
existe e é igual a
.