As funções dos Exercícios 21-26 estão definidas para todo x exceto para um único valor de x. Se possível, defina f(x) neste ponto excepcional de tal forma que f(x) resulte contínua em cada x.
f(x)=\frac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9}}{x}, x \neq 0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9}}{x},\quad x\neq 0.
A única exceção indicada é x=0. A pergunta pede: definir f(x) em x=0 de modo que f seja contínua em cada x. Vou identificar claramente o que é necessário:
  • Informação dada: fórmula de f(x) válida para todo x\neq 0.
  • Ponto excepcional: x=0.
  • Objetivo: escolher um valor para f(0) que torne f contínua em x=0.

Passo 2

Lembrete sobre continuidade num ponto (explicação didática): para que f seja contínua em x=0 é preciso que:
  1. f(0) esteja definido (podemos escolher o valor que quisermos).
  2. \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) exista.
  3. O valor escolhido satisfaça \displaystyle f(0)=\lim_{x\to 0} f(x).
Portanto a tarefa prática é calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9}}{x} e igualar f(0) a esse limite.

Passo 3

Observação sobre a expressão: temos uma diferença de raízes no numerador e x no denominador. Um truque clássico para limites desse tipo é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes. O conjugado de \sqrt{9+x}-\sqrt{9} é \sqrt{9+x}+\sqrt{9}. Então multiplico por \dfrac{\sqrt{9+x}+\sqrt{9}}{\sqrt{9+x}+\sqrt{9}} (que é 1) para simplificar a expressão para x\neq0:
\frac{\sqrt{9+x}-\sqrt{9}}{x} = \frac{\sqrt{9+x}-3}{x} = \frac{(\sqrt{9+x}-3)\,(\sqrt{9+x}+3)}{x(\sqrt{9+x}+3)}.

Passo 4

Agora calculo o produto no numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aqui a=\sqrt{9+x} e b=3. Assim:
(\sqrt{9+x}-3)(\sqrt{9+x}+3)=(\sqrt{9+x})^2-3^2=(9+x)-9=x.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\frac{\sqrt{9+x}-3}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{9+x}+3)}.
Como estamos considerando x\neq0, podemos simplificar o fator x:
\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}=\frac{1}{\sqrt{9+x}+3},\quad x\neq0.

Passo 5

Agora que a expressão está simplificada, o limite quando x\to0 torna-se simples: basta substituir x=0 na expressão contínua \dfrac{1}{\sqrt{9+x}+3}:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{9+x}-3}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{9+x}+3} = \frac{1}{\sqrt{9+0}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}.
Portanto o limite existe e vale \dfrac{1}{6}.

Passo 6

Conclusão prática: para que f seja contínua em x=0 devemos definir f(0) igual ao limite encontrado. Ou seja, escolher
f(0)=\frac{1}{6}.
Com essa definição, f fica contínua em x=0 porque f(0) existe e é igual a \displaystyle\lim_{x\to0}f(x).

Resposta

f(0)=\dfrac{1}{6}

Exercícios relacionados