Calcule os limites, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2 pelo lado direito (isso é o que significa
). Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites, especialmente quando a função tem uma fração com polinômios no numerador e denominador. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver se conseguimos um resultado imediato. Substituindo no numerador:
E no denominador:
Então, temos
. Isso indica que estamos enfrentando uma indeterminação do tipo
, o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir. Vamos analisar mais a fundo.
Passo 3
Para entender melhor o comportamento da função perto de
, vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
Vamos procurar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então:
Denominador:
Procura-se dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então:
Agora, nossa função fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 2 pelo lado positivo (
). Isso significa que
está chegando de valores maiores que 2, como 2,1; 2,01; 2,001; etc.
Vamos observar os sinais de cada fator no numerador e denominador nessa proximidade:
-
: Para próximo a 2, , então esse fator é negativo. -
: Para próximo a 2, , então esse fator é positivo. -
: Como está chegando de valores maiores que 2, é positivo, mas muito pequeno, tendendo a zero. -
: Para próximo a 2, , então esse fator é negativo.
Passo 5
Juntando os sinais:
Então, a função está positiva perto de
. Além disso, como o denominador está se aproximando de zero (porque
está se tornando muito pequeno), a fração inteira está aumentando sem limite, ou seja, tende ao infinito positivo.
Resposta
O limite é
.