Calcule os limites, se existir.
lim x 2^+ x^2-2 x-8x^2-5 x+6

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente precisa calcular o limite da função x^2-2x-8x^2-5x+6 quando x se aproxima de 2 pelo lado direito (isso é o que significa 2^+). Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites, especialmente quando a função tem uma fração com polinômios no numerador e denominador. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na função para ver se conseguimos um resultado imediato. Substituindo no numerador:
2^2 - 2 times 2 - 8 = 4 - 4 - 8 = -8
E no denominador:
2^2 - 5 times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0
Então, temos -80. Isso indica que estamos enfrentando uma indeterminação do tipo n0, o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir. Vamos analisar mais a fundo.

Passo 3

Para entender melhor o comportamento da função perto de x = 2, vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador: x^2 - 2x - 8
Vamos procurar dois números que multiplicados dão -8 e somados dão -2. Esses números são -4 e +2. Então:
x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)
Denominador: x^2 - 5x + 6
Procura-se dois números que multiplicados dão +6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Agora, nossa função fica:
(x - 4)(x + 2)(x - 2)(x - 3)

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de 2 pelo lado positivo ( 2^+). Isso significa que x está chegando de valores maiores que 2, como 2,1; 2,01; 2,001; etc.
Vamos observar os sinais de cada fator no numerador e denominador nessa proximidade:
  • x - 4: Para x próximo a 2, 2 - 4 = -2, então esse fator é negativo.
  • x + 2: Para x próximo a 2, 2 + 2 = 4, então esse fator é positivo.
  • x - 2: Como x está chegando de valores maiores que 2, x - 2 é positivo, mas muito pequeno, tendendo a zero.
  • x - 3: Para x próximo a 2, 2 - 3 = -1, então esse fator é negativo.

Passo 5

Juntando os sinais:
(x - 4)(x + 2)(x - 2)(x - 3) = (-)(+)(+)(-) = -- = +
Então, a função está positiva perto de x = 2^+. Além disso, como o denominador está se aproximando de zero (porque x - 2 está se tornando muito pequeno), a fração inteira está aumentando sem limite, ou seja, tende ao infinito positivo.

Resposta

O limite é +infty.

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