Seja f: R R tal que f(x)=a x+b e verifica f(f(x))=x+1, forall x in R.
Determine os valores de a e b.
Resp: a=1 ; b=12

Passo 1

O enunciado pede para determinar os coeficientes de uma função linear f(x)=ax+b de modo que a composição f(f(x)) seja igual a x+1. O conteúdo envolvido é composição de funções e igualação de coeficientes na forma geral de uma função afim.

Passo 2

Para calcular a composição, aplicamos f sobre f(x):
f(f(x))=al(a x+br)+b=a^2x+ab+b

Passo 3

Como queremos f(f(x))=x+1 para todo x, igualamos coeficientes:
a^2=1,
ab+b=1

Passo 4

Da primeira equação tiramos a=1 ou a=-1. Substituindo em ab+b=1: se a=1 temos 2b=1 logo b=1/2; se a=-1 fica 0cdot b=1, impossível.

Passo 5

Portanto a única solução consistente é a=1 e b=tfrac12.

Resposta

a=1 e b=tfrac12

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