Sejam f e g definidas por
f(x)=c x^2+2 x+4 , se x >= 1 3 x+4, se x<1 , g(x)=x-3
Obtenha a lei de formação da função f circ g.
Resolução:
Considere y=g(x)=x-3.
(f circ g)(x)=f(g(x))=f(y)
  • Para y >= 1, temos;
y >= 1 Leftrightarrow x-3 >= 1 Leftrightarrow x >= 4
Então, se x >= 4, temos:
f(y)=y^2+2 y+4 Rightarrow f(g(x))=(x-3)^2+2(x-3)+4=x^2-4 x+7
  • Para y <1, temos:
y<1 Leftrightarrow x-3<1 Leftrightarrow x<4
Então, se x<4, temos:
f(y)=3 y+4 Rightarrow f(g(x))=3(x-3)+4=3 x-5

Portanto

(f circ g)(x)=c x^2-4 x+7, se x >= 4 3 x-5, se x<4

Passo 1

A questão pede a lei de formação da função composta fcirc g, ou seja, como escrever f(g(x)) quando f é definida por partes e g(x)=x-3. O conteúdo principal aqui é composição de funções e tratamento de função por partes.

Passo 2

Para simplificar, definimos y=g(x)=x-3. Assim, (fcirc g)(x)=f(g(x))=f(y) Sabemos que f(y) é dada por duas expressões conforme o valor de y:
y^2+2y+4,&y>=1, 3y+4,&y<1

Passo 3

Precisamos traduzir a condição sobre y em condição sobre x. Como y=x-3:
  • Se y>=1 então x-3>=1 ou seja x>=4.
  • Se y<1 então x-3<1 ou seja x<4.

Passo 4

Agora aplicamos cada ramo de f(y):
  • Para x>=4, usamos f(y)=y^2+2y+4:
f(g(x))=(x-3)^2+2(x-3)+4=x^2-6x+9+2x-6+4=x^2-4x+7
  • Para x<4, usamos f(y)=3y+4:
f(g(x))=3(x-3)+4=3x-9+4=3x-5

Resposta

(fcirc g)(x)=x^2-4x+7,&x>=4,3x-5,&x<4

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