Calcule os limites, se existirem. Caso não existam, prove usando a regra dos dois caminhos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite multivariável:
Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos que
pode seguir para chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que o denominador tem raízes, então vamos racionalizar multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Passo 3
Agora, observamos o denominador
. Para evitar divisão por zero, vamos assumir
. Então, podemos simplificar a expressão:
Passo 4
Simplificamos para:
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
.
Passo 5
Vamos analisar esse limite. Quando
e
,
e
. Então:
Passo 6
Para garantir que o limite realmente existe e é igual a 0, vamos verificar dois caminhos diferentes:
Caminho 1:
Substituindo:
Caminho 2:
Substituindo:
Passo 7
Como em ambos os caminhos o limite é 0, e não encontramos caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite existe e é 0.
Resposta
O limite é 0.