Calcule os limites, se existirem. Caso não existam, prove usando a regra dos dois caminhos.
lim (x, y) (0,0)(x^2-x yraizx-raizy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite multivariável:
lim (x, y)(0,0)(x^2-x yraizx-raizy)
Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar em (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que o denominador tem raízes, então vamos racionalizar multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
x^2 - x yraizx - raizy times raizx + raizyraizx + raizy = (x^2 - x y)(raizx + raizy)x - y

Passo 3

Agora, observamos o denominador x - y. Para evitar divisão por zero, vamos assumir x neq y. Então, podemos simplificar a expressão:
(x^2 - x y)(raizx + raizy)x - y = x(x - y)(raizx + raizy)x - y = x(raizx + raizy)

Passo 4

Simplificamos para:
x(raizx + raizy)
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando (x, y) (0,0).

Passo 5

Vamos analisar esse limite. Quando x to 0 e y to 0, raizx to 0 e raizy to 0. Então:
x(raizx + raizy) to 0 times (0 + 0) = 0

Passo 6

Para garantir que o limite realmente existe e é igual a 0, vamos verificar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: y = x
Substituindo:
x(raizx + raizx) = x times 2raizx = 2x^3/2 to 0 quando x to 0
Caminho 2: y = 0
Substituindo:
x(raizx + 0) = x raizx = x^3/2 to 0 quando x to 0

Passo 7

Como em ambos os caminhos o limite é 0, e não encontramos caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite existe e é 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados