Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções.
f(x, y)=x^3+x^2 y^3-2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{3} + x^{2} y^{3} - 2 y^{2} $. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que são fundamentais para entender como a função muda em relação a cada variável isoladamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Isso significa derivar a função em relação a $ x $ mantendo $ y $ constante e vice-versa.

Passo 3

Vamos começar com $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
Derivando em relação a $ x $:
f(x, y) = x^3 + x^2 y^3 - 2 y^2
Aqui, derivamos cada termo em relação a $ x $. O termo $ -2 y^{2} $ não depende de $ x $, então sua derivada em relação a $ x $ é zero.

Passo 4

Agora, vamos derivar $ f $ em relação a $ y $:
f
Derivando em relação a $ y $:
y
Aqui, o termo $ x^{3} $ não depende de $ y $, então sua derivada em relação a $ y $ é zero.

Passo 5

Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos para as derivadas de segunda ordem. Precisamos encontrar:
  • $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $
  • $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $
  • $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $
Vamos começar com $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $:
partial^2 fpartial x^2
Derivando novamente em relação a $ x $:
partial^2 fpartial x partial y

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $ (a ordem de derivação não altera o resultado):
Começamos com $ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2} + 2x y^{3} $
Derivando em relação a $ y $:
partial^2 fpartial x partial y

Passo 7

Por último, vamos calcular $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $:
Primeiro, temos $ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^{2} y^{2} - 4y $
Derivando novamente em relação a $ y $:
partial^2 fpartial y^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = x^{3} + x^{2} y^{3} - 2 y^{2} $ são:
Derivadas de primeira ordem:
f(x, y) = x^3 + x^2 y^3 - 2 y^2
partial fpartial x = 3x^2 + 2x y^3
Derivadas de segunda ordem:
partial fpartial y = 3x^2 y^2 - 4y
partial^2 fpartial x^2 = 6x + 2 y^3
partial^2 fpartial x partial y = 6x y^2

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