Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{3} + x^{2} y^{3} - 2 y^{2} $. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais, que são fundamentais para entender como a função muda em relação a cada variável isoladamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Isso significa derivar a função em relação a $ x $ mantendo $ y $ constante e vice-versa.
Passo 3
Vamos começar com $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Derivando em relação a $ x $:
Aqui, derivamos cada termo em relação a $ x $. O termo $ -2 y^{2} $ não depende de $ x $, então sua derivada em relação a $ x $ é zero.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ f $ em relação a $ y $:
Derivando em relação a $ y $:
Aqui, o termo $ x^{3} $ não depende de $ y $, então sua derivada em relação a $ y $ é zero.
Passo 5
Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos para as derivadas de segunda ordem. Precisamos encontrar:
- $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $
- $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $
- $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $
Vamos começar com $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $:
Derivando novamente em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $ (a ordem de derivação não altera o resultado):
Começamos com $ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2} + 2x y^{3} $
Derivando em relação a $ y $:
Passo 7
Por último, vamos calcular $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $:
Primeiro, temos $ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^{2} y^{2} - 4y $
Derivando novamente em relação a $ y $:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = x^{3} + x^{2} y^{3} - 2 y^{2} $ são:
Derivadas de primeira ordem:
Derivadas de segunda ordem: