Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente as regras de derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a $ x $, que chamamos de $ f_x $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $.
A função pode ser reescrita como $ f(x, y) = (x^{2} - y)^{1/2} $. Usando a regra da cadeia, a derivada de $ (u)^{1/2} $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{2}u^{-1/2} $, e depois multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a $ y $, que é $ f_y $. Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos em relação a $ y $.
Usando novamente a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos seguir para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada segunda em relação a $ x $, que é $ f_{xx} $. Vamos derivar $ f_x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - y}} $ em relação a $ x $.
Usamos a regra do quociente ou a regra do produto. Vamos optar pela regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a derivada segunda mista $ f_{xy} $. Vamos derivar $ f_x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - y}} $ em relação a $ y $.
Simplificando:
Passo 6
Por fim, a derivada segunda em relação a $ y $, que é $ f_{yy} $. Vamos derivar $ f_y = -\frac{1}{2\sqrt{x^{2} - y}} $ em relação a $ y $.
Usando a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y} $ são: