Encontre as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções.
f(x, y)=raizx^2-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a $ x $, que chamamos de $ f_x $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $.
A função pode ser reescrita como $ f(x, y) = (x^{2} - y)^{1/2} $. Usando a regra da cadeia, a derivada de $ (u)^{1/2} $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{2}u^{-1/2} $, e depois multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Então:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de primeira ordem em relação a $ y $, que é $ f_y $. Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos em relação a $ y $.
Usando novamente a regra da cadeia:
y

Passo 4

Vamos seguir para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada segunda em relação a $ x $, que é $ f_{xx} $. Vamos derivar $ f_x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - y}} $ em relação a $ x $.
Usamos a regra do quociente ou a regra do produto. Vamos optar pela regra do quociente:
x
Simplificando:
fxx

Passo 5

Agora, a derivada segunda mista $ f_{xy} $. Vamos derivar $ f_x = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - y}} $ em relação a $ y $.
fxy
Simplificando:
fx = xraizx^2 - y

Passo 6

Por fim, a derivada segunda em relação a $ y $, que é $ f_{yy} $. Vamos derivar $ f_y = -\frac{1}{2\sqrt{x^{2} - y}} $ em relação a $ y $.
Usando a regra da cadeia:
y

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y} $ são:
f(x, y) = raizx^2 - y
fx = xraizx^2 - y, fy = -12raizx^2 - y

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